Ø 第二章 不定方程

　　一、 主要内容

　　一次不定方程有解的条件、解数、解法、通解表示，不定方程x2+y2=z2通解公式、无穷递降法、费尔马大定理。

　　二、 基本要求

　　1、 了解不定方程的概念，理解对“解”的认识，掌握一次不定方程

　　有解的条件，能熟练求解一次不定方程的特解，正整数解及通解。了解多元一次不定方程

　　有解的条件，在有解的条件下的解法。

　　2、掌握不定方程x2+y2=z2在一定条件下的通解公式，并运用这个通解公式作简单的应用。

　　3、对费尔马大定理应有在常识性的了解，掌握无穷递降法求证不定方程x4+y4=z2无解的方法。

　　4、掌握证明不定方程无解的若干方法。

　　三、难点和重点

　　(1)重点为求解一次不定方程的方法

　　(2)掌握第二节中引证的应用。

　　(1) 费尔马无穷递降法。

　　四、自学指导

　　不定方程主要讲解以下几个问题

　　(i)给定一类不定方程，判别在什么条件下有解。

　　(ii)在有解的条件下，有多少解

　　(iii)在有解的条件下，求出所给的不定方程的所有解。

　　二元一次不定方程的一般形式为ax+by=c 。若(a ,b)∣c，则该二元一次不定方程一定有解，若已知一个特解，则一切解可以用公式表示出来，因此求它的通解只要求出一个特解即可。求解二元一次不定方程的一个通解有好多种方法。读者应该总结一下，各种方法都有独到之处。特别要指出用最大公因数的方法。它的根据是求(a ,b)时所得的结果。由于注意通解公式x=x0-b1t，y=y0+a1t中a1，b1的意义和位置。以免出错。

　　多元一次不定方程

　　也有类似的结果，但在求解的过程中将它转化二元一次不定方程组，从最后一个二元一次不定方程解起，可逐一解出x1 ,x2 ,……xn 。所用的方法一般选择最大公因数的方法。由于n元一次不定方程可转化为n-1个二元一次不定方程组，故在通解中依赖于n-1个任意常数。但不象二元一次不定方程那样有公式来表示。

　　x2+y2=z2的正整数解称为勾股数，在考虑这个方程时，我们对(x ,y)作了一些限制，而这些限制并不影响其一般性。在条件x>0，y>0，z>0，(x，y)=1，2∣x的条件可以给出x2+y2=z2的通解公式，x=2ab，y=a2-b2，z2=a2+b2，a>b>0 , (a ,b)=1，a ,b一奇一偶。若将2∣x限为2∣y，则也有相应的一个通解公式。在证明这个通解公式的过程中，用到了引理 uv=w2，u>0，v>0，(u ,v)=1，则u=a2，v=b2，w=ab 。a>0，b>0，(a ,b)=1 。利用这个结论可以求解某些不定方程。特别当w=1或素数p 。则由uv=1或uv=P 可将原不定方程转化为不定方程组。从而获得一些不定方程的解。上述解不定方程的方法叫因子分解法。希望读者能掌握这种方法。

　　为了解决著名的费尔马大定理：xn+yn=zn ，n≥3无正整数解时，当n=4时可以用较初等的方法给出证明。证明由费尔马本人给出的，一般称为费尔马无穷递降法。其基本思想为由一组解出发通过构造得出另一组解，使得两组解之间有某种特定的关系，而且这种构造可以无限重复的。从而可得到矛盾。因此无穷递降法常用来证明某些不定方程无整数解。

　　证明一类不定方程无解是研究不定方程邻域中常见的形式，一般的要求解不定方程比证明不定方程无解要容易些。证明不定方程无解的证明方法常采用以下形式：(反证法)

　　若A有解

　　A1有解

　　A2有解

　　……

　　An有解，而An本身无解，这样来构造矛盾。从而说明原不定方程无解。

　　对于证明不定方程的无解性通常在几种方法，一般是总的几种方法交替使用。特别要求掌握：简单同余法、因子分解法、不等式法，以及中学数学中所涉及的判别式法。

　　五、例子选讲

　　例1：利用整数分离系数法求得不定方程15x+10y+6z=61。

　　解：注意到z的系数最小，把原方程化为

　　z=

　　令t1=

　　，即-3x+2y-6t1+1=0 此时y系数最小，

　　令t2 =

　　,即

　　,反推依次可解得

　　y=x+3t1+t2=2t2+1+3t1+t2=1+3t1+3t2

　　z=-2x-2y+10+t1=6-5t1+10t2

　　∴原不定方程解为

　　t1t2∈z. 例2:证明

　　是无理数证：假设

　　是有理数，则存在自数数a,b使得满足

　　即

　　，容易知道a是偶数，设a=2a1，代入得

　　,又得到b为偶数，

　　，设

　　，则

　　,这里

　　这样可以进一步求得a2，b2…且有a>b>a1>b1> a2>b2>…

　　但是自然数无穷递降是不可能的，于是产生了矛盾，∴

　　为无理数。

　　例3：证明：整数勾股形的勾股中至少一个是3的倍数。

　　证：设N=3m±1(m为整数) ， ∴N2=9m2±6m+1=3(3m2±2m)+1

　　即一个整数若不是3的倍数，则其平方为3k+1,或者说3k+2不可能是平方数，设x,y为勾股整数，且x,y都不是3的倍数，则x2,y2都是3k+1，但z2=x2+y2=3k+2形，这是不可能，∴勾股数中至少有一个是3的倍数。