罗尔定理，设函数f（x）满足条件
来源 :焚题库 2020-05-06
中问答题罗尔定理，设函数f（x）满足条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导；（3）f（a）=f（b），则在（a，b）内至少存在一点，使得f’（ξ）=0。证明这个定理并说明其几何意义。
参考答案：因f（x）在闭区间[a，b]上连续，所以在[a，b]上一定可以取到最大值M和最小值m。 （1）若M=m，则f（x）在[a，b]上是常数f（x）=M，x∈[a，b]。从而f（x）=0，因此，任取ξ∈（a，b）都有f（ξ）=0。
（2）若M≠m，则M，m中至少有一个不等于f（a），不妨设f（a）≠M。因此，函数f（x）在内（a，b）某一点ξ处取到最大值M。我们来证f（ξ）=0。
由于f（x）在ξ处取最大值，所以不论△x为正或为负，总有f（ξ+△x）-f（ξ）≤0。当△x>0时，
≤0，
。 同理，当△x<0时，
根据题意，f（x）在ξ点处可导，所以
定理得证。 几何意义：设y=f（x）是一条连续光滑的曲线，并且在点A，B处的纵坐标相等，即f（a）=f（b），如图，那么我们容易看出，在弧AB上至少有一点C（ξ，f’（ξ）），曲线在C点有水平切线。
答案解析：
涉及考点
《数学学科知识与教学能力》（高级中学）
第一章 学科知识
