“解三角形”是高中数学必修5的内容
来源 :焚题库 2020-05-12
中问答题“解三角形”是高中数学必修5的内容。《普通高中数学课程标准（实验）》要求学生“能通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题”。
（1）请设计一道三角形度量问题并求解；
（要求：同时用勾股定理和正弦定理解决的实际应用题；体现出两者的相通性。）
（2）给出正弦定理推导过程的教学设计，并说明设计意图。
参考答案：（1）如图，船从港口B航行到港口C，测得BC的距离为600m，船在港口C卸货后继续向港口A航行。由于船员的疏忽没有测得CA的距离，如果船上有测角仪我们能否计算出AB的距离？ （1）请设计一道三角形度量问题并求解；
（要求：同时用勾股定理和正弦定理解决的实际应用题；体现出两者的相通性。）
（2）给出正弦定理推导过程的教学设计，并说明设计意图。
答：利用测角仪可测得∠A，∠B，∠C的大小。
勾股定理解法：
如图，过A作AD⊥BC交CB于点D，把△ABC分为两个直角三角形。
在Rt△ACD中，sin∠ACB=
，∴AD=ACsin∠ACB=600sin∠ACB。 在Rt△ABD中，sin∠ABC=
，∴AB=
=
。 
正弦定理解法：
在△ABC中，由正弦定理
。 （2）首先通过特殊例子，引导学生发现结论。
在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为60°，60°，60°，对应的边长a：b：c为1：1：1，那么对应角的正弦值分别为
，引导学生观察的关系
的关系。 在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为45°，45°，90°对应的边长a：b：c为1：1：
，那么对应角的正弦值分别为
，
，1，引导学生观察
的关系。 在△ABC中，∠A，∠B，∠C分别为30°，60°，90°对应的边长a：b：c为1：
：2，那么对应角的正弦值分别为
，引导学生观察
的关系。 [设计意图]通过观察猜想，培养学生从特殊到一般的思想意识，体会到数学的归纳和演绎推理的两个侧面。
验证猜想：在任意的△ABC中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
。 [设计意图]鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程，大胆拓展，主动投入数学发现过程，发展创造性思维。
三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，那么我们分情况来证明此关系式。
①直角三角形
由正弦函数的定义可直接得到
。 ②锐角三角形
设BC=a，CA=b，AB=c，
作AD⊥BC，垂足为D，
在Rt△ABD中，
③钝角三角形
设∠ACB为钝角，BC=a，CA=b，AB=c，
作AD⊥BC交BC的延长线于D，
在Rt△ABD中，
答案解析：
涉及考点
《数学学科知识与教学能力》（高级中学）
第四章 教学技能
