2021年中考数学压轴题精选(7)
来源 :中华考试网 2020-12-28
中1. 已知抛物线y=ax-+bx+c经过A (- 1,0)、B (3, 0)、C (0, 3)三点,直线1是抛物线的对称轴.
(1)求抛物线的函数关系式;
(2)设点P是直线1上的一个动点,当△PAC的周长最小时,求点P的坐标;
(3)在直线1上是否存在点M,使△MAC为等腰三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由。
参考答案:
(1)抛物线的解析式: y=x²+2x+3.
(2)连接BC,直线BC与直线1的交点为P;
∵点A、B关于直线1对称,∴PA=PB,∴BC=PC+PB=PC+PA
设直线BC的解析式为y=kx+b (k≠0),将B (3,0),C (O,3)代入上式,得:
3k+b=0;b=3
解得:
k=- 1;b=3
∴直线BC的函数关系式y=-x+3;当x=1时,y=2,即P的坐标(1, 2).
(3)抛物线的对称轴为: x=-b/2a=1,设M(1,m),已知A(-1,0)、C(0,3),则:
MA²=m²+4,MC²= (3 -m) ²+1=m²- 6m+10,AC²=10;
①若MA=MC,则MA²=MC²,得: m²+4=m²- 6m+10,得: m=1;
②若MA=AC,则MA²-=AC²,得: m²+4=10, 得: m=+√6;
③若MC=AC,则MC²=Ac²,得: m²- 6m+10=10,得: m1=0, m2=6;
当m=6时,M、A、C三点共线,构不成三角形,不合题意,故舍去;
综上可知,符合条件的M点,且坐标为M (1,√6) (1,-√6) (1,1) (1, 0).