题目

　　在△ABC中，∠ABC=90°，AB:BC=n，M是BC上一点，连接AM

　　(1)如图1，若n=1，N是AB延长线上一点，CN与AM垂直，求证：BM=BN;

　　(2)过点B作BP⊥AM，P为垂足，连接CP并延长交AB于Q

　　①如图2，若n=1，求证：CP:PQ=BM:BQ

　　②如图3，若M是BC中点，直接写出tan∠BPQ的值(用含n的式子表示)

　　解析

　　(1)如果是八年级学生刚刚学完全等三角形的判定，看这道题会感觉无比亲切，当n=1时，AB=BC，再加上∠ABM=∠CBN=90°，全等二缺一，考虑到AM与CN的垂直关系，只需要延长AM交CN于点D，便可完成剩下条件的证明，如下图：

　　很容易得到△ABM≌△CBN，于是BM=BN;

　　(2)前一小题的全等三角形，在恰好时机，能让它们重现，当然，略有区别。

　　①依然有n=1，因此仍然会有AB=BC，不妨将前一小题中的全等三角形构造出来，用不同的思路，延长AB至N，使BN=BM，连接CN，延长AM交CN于点D，怎么样?熟悉的图形又回来了吧?

　　根据辅助线作法，BM=BN，再加上AB=BC，∠ABM=∠CBN=90°，于是仍然可证△ABM≌△CBN，所以∠BAM=∠BCN，而∠BCN+∠N=90°，所以∠BAM+∠N=90°，从而可以证明AD⊥CN，看看能发现什么?

　　根据BP⊥AM，我们可得到BP∥CN，本小题求证的结论是一个比例式，而此时居然出现了平行线，正好可采用平行线分线段成比例定理，得到CP:PQ=BN:BQ，最后将其中的BN换成BM即可，得到CP:PQ=BM:BQ;

　　②在尝到了甜头之后，最后一小题中，是否也能采用以上的基本方法呢?n≠1，大不了将前面的全等换成相似嘛!

　　而求三角函数值，最佳途径是构造直角三角形，注意到BP⊥AM这个条件，结合M点是中点，不妨用倍长中线法，延长PM至点D，使PM=DM，连接CD并延长，交AB延长线于点N，如下图：

　　既然采用倍长中线法，那么首先便可得到△BPM≌△CDM，所以∠CDM=∠BPM=90°，我们再一次得到BP∥CN，∠BPQ=∠DCP，而同时求三角函数所需要的直角三角形也构造成功，是Rt△CDP，我们只需要表示出DP和CD的长即可。

　　观察图中的所有直角三角形，我们可发现，Rt△ABM、Rt△CBN、Rt△DCM均彼此相似，我们只需要利用好它们之间的比例关系，由Rt△ABM∽Rt△CBN，我们可以得到AB:BC=BM:BN=n，不妨设BC=x，于是AB=nx，而BM=x/2，所以可表示出BN=x/2n，在Rt△CBN中，利用勾股定理表示出CN，再来推导CD和DP的长，如下图：

　　解题反思

　　从第一小题的全等，到第二小题的全等，再到第三小题的相似，全部是基本图形，全部是常规方法，解完后再回过头看这三幅图的辅助线，仿佛一个模子出来，正所谓以不变应万变。而思维惯势，在这道压轴题的解题过程中，成为了助力。旋转90°的两个直角三角形，八字形三角形，倍长中线法，平行线分线段成比例，在直角三角形中求三角函数值，勾股定理，相似比一定的相似三角形等常规常法，以一种非常和谐的形式融合到了一起。看上去，和课本例题差不多，实际上也差不多，第一次构造出全等三角形和第二次构造，证明方法不同，前面的条件在后一小题中成为结论，这些对学生的深入理解能力提出了较高要求。

　　都是基本功，但内功深厚，使将出来，威力自然不可同日而语。