中考数学模拟练习题及答案(6)
来源 :中华考试网 2016-09-08
中∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点,
∴一元二次方程根的判别式等于0,
即Δ=02+16(p-3)=0,解得p=3.
∴y=-14x2+x+3=-14(x-2)2+4.
当x=2时,二次函数有最大值,最大值为4.
15.解:(1)设此抛物线的解析式为y=a(x-3)2+4,
此抛物线过点A(0,-5),
∴-5=a(0-3)2+4,∴a=-1.
∴抛物线的解析式为y=-(x-3)2+4,
即y=-x2+6x-5.
(2)抛物线的对称轴与⊙C相离.
证明:令y=0,即-x2+6x-5=0,得x=1或x=5,
∴B(1,0),C(5,0).
设切点为E,连接CE,
由题意,得,Rt△ABO∽Rt△BCE.
∴ABBC=OBCE,即12+524=1CE,
解得CE=426.
∵以点C为圆心的圆与直线BD相切,⊙C的半径为r=d=426.
又点C到抛物线对称轴的距离为5-3=2,而2>426.
则此时抛物线的对称轴与⊙C相离.
(3)假设存在满足条件的点P(xp,yp),
∵A(0,-5),C(5,0),
∴AC2=50,
AP2=(xp-0)2+(yp+5)2=x2p+y2p+10yp+25,CP2=(xp-5)2+(yp-0)2=x2p+y2p-10xp+25.
①当∠A=90°时,在Rt△CAP中,
由勾股定理,得AC2+AP2=CP2,
∴50+x2p+y2p+10yp+25=x2p+y2p-10xp+25,
整理,得xp+yp+5=0.
∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,
∴yp=-x2p+6xp-5.
∴xp+(-x2p+6xp-5)+5=0,
解得xp=7或xp=0,∴yp=-12或yp=-5.
∴点P为(7,-12)或(0,-5)(舍去).
②当∠C=90°时,在Rt△ACP中,
由勾股定理,得AC2+CP2=AP2,
∴50+x2p+y2p-10xp+25=x2p+y2p+10yp+25,
整理,得xp+yp-5=0.
∵点P(xp,yp)在抛物线y=-x2+6x-5上,
∴yp=-x2p+6xp-5,
∴xp+(-x2p+6xp-5)-5=0,
解得xp=2或xp=5,∴yp=3或yp=0.
∴点P为(2,3)或(5,0)(舍去)
综上所述,满足条件的点P的坐标为(7,-12)或(2,3).