A级　基础题

　　1.下列各组线段(单位：cm)中，是成比例线段的为(　　)

　　A.1,2,3,4 B.1,2,2,4 C.3,5,9,13 D.1,2,2,3

　　2.(2013年北京)如图6­4­14，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上.若测得BE=20 m，EC=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB=(　　)

　　A. 60 m B. 40 m C. 30 m D. 20 m

　　图6­4­14 　　　　　　图6­4­15

　　3.(2013年上海)如图6­4­15，已知在△ABC中，点D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB=3∶5，那么CF∶CB=(　　)

　　A. 5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.2∶5

　　4.若两个相似三角形的面积之比为1∶16，则它们的周长之比为(　　)

　　A.1∶2 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶16

　　5.(2013年江苏无锡)如图6­4­16，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于O，AD=1，BC=4，则△AOD与△BOC的面积之比等于(　　)

　　A.12 B.14 C.18 D.116

　　图6­4­16　　　　图6­4­17

　　6.(2013年山东威海)如图6­4­17，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD.下列结论错误的是(　　)

　　A.∠C=2∠A B.BD平分∠ABC

　　C.S△BCD=S△BOD D.点D为线段AC的黄金分割点

　　7.下列说法中：①所有的等腰三角形都相似;②所有的正三角形都相似;③所有的正方形都相似;④所有的矩形都相似.其中说法正确的序号是________________.

　　8.(2013年四川雅安)如图6­4­18, 在▱ABCD，E在AB上，CE，DB交于F，若AE∶BE=4∶3，且BF=2，则DF=________.

　　图6­4­18　　　　　　图6­4­19

　　9.(2013年江苏泰州)如图6­4­19，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(3,0)，(2，-3)，△AB′O′是△ABO关于点A的位似图形，且O′的坐标为(-1,0)，则点B′的坐标为________.

　　10.(2012年湖南株洲)如图6­4­20，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A，C重合，直线MN交AC于点O.

　　(1)求证：△COM∽△CBA;

　　(2)求线段OM的长度.

　　B级　中等题

　　11.(2013年山东淄博)在△ABC中，P是AB上的动点(P异于A，B)，过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线.如图6­4­21，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有__________条.

　　图6­4­21

　　12.如图6­4­22，大江的同一侧有A，B两个工厂，它们都有垂直于江边的小路，AD，BE的长度分别为3千米和2千米，且两条小路之间的距离为5千米.现要在江边建一个供水站向A，B两厂送水，欲使供水管路最短，则供水站应建在距E处多远的位置?

　　13.(2012年湖南株洲)如图6­4­23，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米.点M在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒;同时点N在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒，运动时间为t秒.

　　(1)当t为何值时，∠AMN=∠ANM;

　　(2)当t为何值时，△AMN的面积最大?并求出这个最大值.

　　图6­4­23

　　C级　拔尖题

　　14.(2013年山东滨州)某高中学校为高一新生设计的学生板凳的正面视图如图6­4­24.其中BA=CD，BC=20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm,8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长(材质及其厚度等暂忽略不计)?

　　图形的相似

　　1.B　2.B　3.A　4.B　5.D　6.C　7.②③

　　8.143　解析：AB∥CD⇒△BEF∽△DCF⇒BECD=BFDF，又∵AEBE=43，∴BEAB=37，即BECD=37，则有37=2DF，DF=143.

　　9.53，-4

　　10.(1)证明：∵A与C关于直线MN对称，

　　∴AC⊥MN.∴∠COM=90°.

　　在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠COM=∠B.

　　又∵∠ACB=∠MCO，

　　∴△COM∽△CBA.

　　(2)解：∵在Rt△CBA中，AB=6，BC=8，

　　∴AC=10，∴OC=5.

　　∵△COM∽△CBA，

　　∴OCCB=OMAB，OM=154.

　　11.3

　　12.解：如图55，作出点B关于江边的对称点C，连接AC，则BF+FA=CF+FA=CA.

　　根据两点之间线段最短，可知当供水站在点F处时，供水管路最短.

　　∵△ADF∽△CEF，

　　∴设EF=x，则FD=5-x，

　　根据相似三角形的性质，得

　　EFFD=CEAD，即x5-x=23，解得x=2.

　　故供水站应建在距E点2千米处.

　　图55

　　13.解：(1)由题意，得AM=12-t，AN=2t.

　　∵∠AMN=∠ANM，

　　∴AM=AN，从而12-t=2t，

　　解得t=4秒.

　　∴当t为4秒时，∠AMN=∠ANM.

　　(2)如图56，过点N作NH⊥AC于点H，

　　∴∠NHA=∠C=90°.

　　∵∠A是公共角，∴△NHA∽△BCA.

　　∴ANAB=NHBC，即2t13=NH5，∴NH=10t13.

　　从而有S△AMN=12(12-t)•10t13=-513t2+6013t，

　　∴当t=6时，S有最大值为18013.

　　图56 　　　　图57

　　14.解：如图57，过点C作CM∥AB，交EF，AD于N，M，作CP⊥AD，交EF，AD于Q，P.

　　由题意，得四边形ABCM是平行四边形，

　　∴EN=AM=BC=20 cm.

　　∴MD=AD-AM=50-20=30(cm).

　　由题意知CP=40 cm，PQ=8 cm，∴CQ=32 cm.

　　∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.

　　∴NFMD=CQCP，即NF30=3240.

　　解得NF=24 cm.

　　∴EF=EN+NF=20+24=44(cm).

　　答：横梁EF应为44 cm.