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2015年四川中考数学考前必做专题试题—函数

来源 :中华考试网 2015-03-19

  一、选择题

  1、(2014•济宁第8题)“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m

  A. m

  【考点】: 抛物线与x轴的交点.

  【分析】: 依题意画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)图象草图,根据二次函数的增减性求解.

  【解答】: 解:依题意,画出函数y=(x﹣a)(x﹣b)的图象,如图所示.

  函数图象为抛物线,开口向上,与x轴两个交点的横坐标分别为a,b(a

  方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0转化为(x﹣a)(x﹣b)=1,方程的两根是抛物线y=(x﹣a)(x﹣b)与直线y=1的两个交点.

  由抛物线开口向上,则在对称轴左侧,y随x增大而减少

  故选A.

  【点评】: 本题考查了二次函数与一元二次方程的关系,考查了数形结合的数学思想.解题时,画出函数草图,由函数图象直观形象地得出结论,避免了繁琐复杂的计算.

  2、(2014年山东泰安第20题)二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:

  X ﹣1 0 1 3

  y ﹣1 3 5 3

  下列结论:

  (1)ac<0;

  (2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小.

  (3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根;

  (4)当﹣10.

  其中正确的个数为(  )

  A.4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

  【分析】:根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5,然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解.

  【解答】:由图表中数据可得出:x=1时,y=5值最大,所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下,a<0;又x=0时,y=3,所以c=3>0,所以ac<0,故(1)正确;

  ∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下,且对称轴为x= =1.5,∴当x>1.5时,y的值随x值的增大而减小,故(2)错误;

  ∵x=3时,y=3,∴9a+3b+c=3,∵c=3,∴9a+3b+3=3,∴9a+3b=0,∴3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一个根,故(3)正确;

  ∵x=﹣1时,ax2+bx+c=﹣1,∴x=﹣1时,ax2+(b﹣1)x+c=0,∵x=3时,ax2+(b﹣1)x+c=0,且函数有最大值,∴当﹣10,故(4)正确.

  故选B.

  【点评】:本题考查了二次函数的性质,二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数与不等式,有一定难度.熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键.

  3、(2014年山东烟台第11题)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图,图象过点(﹣1,0),对称轴为直线x=2,下列结论:

  ①4a+b=0;②9a+c>3b;③8a+7b+2c>0;④当x>﹣1时,y的值随x值的增大而增大.

  其中正确的结论有(  )

  A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

  【分析】:根据抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2,则有4a+b=0;观察函数图象得到当x=﹣3时,函数值小于0,则9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b;由于x=﹣1时,y=0,则a﹣b+c=0,易得c=﹣5a,所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,再根据抛物线开口向下得a<0,于是有8a+7b+2c>0;由于对称轴为直线x=2,根据二次函数的性质得到当x>2时,y随x的增大而减小.

  【解答】:∵抛物线的对称轴为直线x=﹣ =2,∴b=﹣4a,即4a+b=0,所以①正确;

  ∵当x=﹣3时,y<0,∴9a﹣3b+c<0,即9a+c<3b,所以②错误;

  ∵抛物线与x轴的一个交点为(﹣1,0),∴a﹣b+c=0,

  而b=﹣4a,∴a+4a+c=0,即c=﹣5a,∴8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a,

  ∵抛物线开口向下,∴a<0,∴8a+7b+2c>0,所以③正确;

  ∵对称轴为直线x=2,

  ∴当﹣12时,y随x的增大而减小,所以④错误.故选B.

  【点评】:本题考查了二次函数图象与系数的关系:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小,当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置,当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点. 抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定,△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.

  4、(2014•威海第11题)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,则下列说法:

  ①c=0;②该抛物线的对称轴是直线x=﹣1;③当x=1时,y=2a;④am2+bm+a>0(m≠﹣1).

  其中正确的个数是( )

  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

  【考点】: 二次函数图象与系数的关系.

  【分析】: 由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.

  【解答】: 解:抛物线与y轴交于原点,c=0,故①正确;

  该抛物线的对称轴是: ,直线x=﹣1,故②正确;

  当x=1时,y=2a+b+c,

  ∵对称轴是直线x=﹣1,

  ∴ ,b=2a,

  又∵c=0,

  ∴y=4a,故③错误;

  x=m对应的函数值为y=am2+bm+c,

  x=﹣1对应的函数值为y=a﹣b+c,又x=﹣1时函数取得最小值,

  ∴a﹣b+c

  ∵b=2a,

  ∴am2+bm+a>0(m≠﹣1).故④正确.

  故选:C.

  【点评】: 本题考查了二次函数图象与系数的关系.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定.

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