(一)完全平方数的性质

　　一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数。例如：

　　0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,…

　　观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：

　　性质1：完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9。

　　性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数。

　　证明　奇数必为下列五种形式之一：

　　10a+1, 10a+3, 10a+5, 10a+7, 10a+9

　　分别平方后，得

　　(10a+1)=100+20a+1=20a(5a+1)+1

　　(10a+3)=100+60a+9=20a(5a+3)+9

　　(10a+5)=100+100a+25=20(5a+5a+1)+5

　　(10a+7)=100+140a+49=20(5a+7a+2)+9

　　(10a+9)=100+180a+81=20

　　(5a+9a+4)+1

　　综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9;十位数字为偶数。

　　性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6;反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。

　　证明　已知=10k+6，证明k为奇数。因为的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。则

　　10k+6=(10n+4)=100+(8n+1)x10+6

　　或　10k+6=(10n+6)=100+(12n+3)x10+6

　　即　k=10+8n+1=2(5+4n)+1

　　或　k=10+12n+3=2(5+6n)+3

　　∴　k为奇数。

　　推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。

　　推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。

　　性质4：偶数的平方是4的倍数;奇数的平方是4的倍数加1。

　　这是因为　(2k+1)=4k(k+1)+1

　　(2k)=4

　　性质5：奇数的平方是8n+1型;偶数的平方为8n或8n+4型。

　　在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数;由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。

　　性质6：平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。

　　因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1, 3m+2。平方后，分别得

　　(3m)=9=3k

　　(3m+1)=9+6m+1=3k+1

　　(3m+2)=9+12m+4=3k+1

　　同理可以得到：

　　性质7：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数的平方为5k型。

　　性质8：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。

　　除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：

　　一个数的数字和等于这个数被9除的余数。

　　下面以四位数为例来说明这个命题。

　　设四位数为，则

　　= 1000a+100b+10c+d

　　= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)

　　= 9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)

　　显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。

　　对于n位数，也可以仿此法予以证明。

　　关于完全平方数的数字和有下面的性质：

　　性质9：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。

　　证明　因为一个整数被9除只能是9k,9k±1, 9k±2, 9k±3, 9k±4这几种形式，而

　　(9k)=9(9)+0

　　(9k±1)=9(9±2k)+1

　　(9k±2)=9(9±4k)+4

　　(9k±3)=9(9±6k)+9

　　(9k±4)=9(9±8k+1)+7

　　除了以上几条性质以外，还有下列重要性质：

　　性质10：为完全平方数的充要条件是b为完全平方数。

　　证明　充分性：设b为平方数，则

　　==(ac)

　　必要性：若为完全平方数，=，则

　　性质11：如果质数p能整除a，但不能整除a，则a不是完全平方数。

　　证明　由题设可知，a有质因子p，但无因子，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因子的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。

　　性质12：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数，即若

　　则k一定不是完全平方数。

　　性质13：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因子(包括1和n本身)。