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初中数学竞赛专题:抽屉原则

来源 :中华考试网 2015-01-07

  大家知道,两个抽屉要放置三只苹果,那么一定有两只苹果放在同一个抽屉里,更一般地说,只要被放置的苹果数比抽屉数目大,就一定会有两只或更多只的苹果放进同一个抽屉,可不要小看这一简单事实,它包含着一个重要而又十分基本的原则--抽屉原则.

  1.抽屉原则有几种最常见的形式

  原则1如果把n+k(k≥1)个物体放进n只抽屉里,则至少有一只抽屉要放进两个或更多个物体:

  原则本身十分浅显,为了加深对它的认识,我们还是运用反证法给予证明;如果每个抽屉至多只能放进一个物体,那么物体的总数至多是n,而不是题设的n+k(k≥1),这不可能.

  原则虽简单.巧妙地运用原则却可十分便利地解决一些看上去相当复杂、甚至感到无从下手的总是,比如说,我们可以断言在我国至少有两个人出生的时间相差不超过4秒钟,这是个惊人的结论,该是经过很多人的艰苦劳动,统计所得的吧!不,只须我们稍动手算一下:

  不妨假设人的寿命不超过4万天(约110岁,超过这个年龄数的人为数甚少),则10亿人口安排在8亿6千4百万个"抽屉"里,根据原则1,即知结论成立.

  下面我们再举一个例子:

  例1幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.

  解从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种:

  (兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿)

  把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么根据原则1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说,至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.

  原则2如果把mn+k(k≥1)个物体放进n个抽屉,则至少有一个抽屉至多放进m+1个物体.证明同原则相仿.若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符,故不可能.

  原则1可看作原则2的物例(m=1)

  例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆(每面只涂一种色),证明正方体一定有三个面颜色相同.

  证明把两种颜色当作两个抽屉,把正方体六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原则二,至少有三个面涂上相同的颜色.

  2.制造抽屉是运用原则的一大关键

  3.较复杂的问题须反复地运用抽屉原则,将复杂问题转化为简单问题.

  例9以(x,y,z)表示三元有序整数组,其中x、y、z为整数,试证:在任意七个三元整数组中,至少有两个三元数组,它们的x、y、z元中有两对都是奇数或都是偶数.

  分析设七个三元素组为A1(x1,y1,z1)、A2(x2,y2,z2)、…、A7(x7,y7,z7).现在逐步探索,从x元开始,由抽屉原则,x1,x2,…,x7这七个数中,必定有四个数具有相同的奇偶性,不妨设这四个数是x1,x2,x3,x4且为偶数,接着集中考虑A1、A2、A3、A4这四组数的y元,若比如y1,y2,y3,y4中有两个是偶数,则问题已证,否则至多有一个是偶数,比如y4是偶数,这时我们再来集中考虑A1、A2、A3的z元.在z1,z2,z3中,由抽屉原则必有两个数具有相同的奇偶性,如z1、z2,这时无论它们是奇数,还是偶数,问题都已得到证明.

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