多边形的面积和面积变换

　　本讲在初二几何范围内，通过实例对平面图形的面积和用面积变换解几何题作些简单介绍.所用知识不多，简列如下：

　　(1) 全等形的面积相等;

　　(2) 多边形的面积定理(三角形、梯形等，略);

　　(3) 等底等高的三角形，平行四边形，梯形的面积相等(对梯形底相等应理解为两底和相等);

　　(4) 等底(等高)的三角形，平行四边形，梯形的面积比等于这底上的高(这高对应的底)的比.

　　以下约定以△ABC同时表示△ABC的面积.

　　1. 多边形的面积

　　例1 (第34届美国中学数学竞赛题)在图23-1的平面图形中，边AF与CD平行，BC与ED平行，各边长为1，且∠FAB=∠BCD= ，该图形的面积是( )

　　(A) (B)1 (C) (D) (E)2

　　分析 将这个图形分解为若干个基本图形——三角形，连BF、BE、BD得四个与△ABF全等的正三角形，进一步计算可得图形面积为 .所以选(D).

　　例2 (第5届美国数学邀请赛试题)如图23-2五条线段把矩形ABCD分成了面积相等的四部分，其中XY=YB+BC+CZ=ZW=WD+DA+AX，而PQ平行于AB.如果BC=19cm，PQ=87cm，则AB的长度等于_________.

　　分析 如图,延长PQ交AD、CB于E、F.由YB+BC+CZ=WD+DA+AX知a+c=b+d,又梯形PQWZ与梯形PQYX面积相等,故E、F分别为AD、CB的中点.

　　而SAXPWD=SBYQZC，∴EP=QF，设为e.

　　由SAXPWD=SPQZW 得

　　∴2e=106，

　　∴AB=2e+87=193.

　　例3.如图23-3四边形ABCD的两边BA和CD相交于G，E、F各为BD、AC的中点.试证：△EFG的面积等于四边形ABCD面积的四分之一.

　　分析 注意到E、F各为BD、AC的中点，连结EA、EC和FD.则

　　如果能够证明△EFG的面积等于四边形AEFD的面积，问题即可解决.为此，取AD的中点P，连PE、PF，则PE∥GB，PF∥GC.于是△GEP=△AEP，△GFP=△DFP.而△PEF公用.∴△GEF=SAEFD.至此，问题得解.证明略.

　　2. 利用面积变换解几何题

　　先看一个例子.

　　例4.以直角三角形ABC的两直角边AC、BC为一边各向外侧作正方形ACDE、BCGH，连结BE、AH分别交AC、BC于P、Q.求证:CP=CQ.

　　证明 (如图23-4)显然S△GCQ=S△HCQ，

　　∵HB∥AG，

　　∴S△GCQ=S△ACH=S△ABC.

　　同理,S△BDP=S△ABC.

　　∴S△AGQ=S△BDP,

　　∴CQ·AG=CP·BD.

　　∵AG=AC+GC

　　=DC+BC=BD，

　　∴CP=CQ.

　　此例是关于平面图形中线段的等式，看似与面积无关，然而我们却利用图形之间面积的等量关系达到了证明的目的.这种不考虑图形的形状只从图形的面积关系入手来研究图形的度量关系和位置关系的方法即所谓面积变换.

　　例5 (第37届美国中学数学竞赛题)图23-5中,ABCDE是正五边形,AP、AQ和AR是由A向CD、CB和DE的延长线上所引的垂线.设O是正五边形的中心,若OP=1,则AO+AQ+AR等于( ).

　　(A)3 (B)1+ (C)4 (D)2+ (E)5

　　分析 因题设中AP、AQ、AR分别与CD、CB、DE垂直，这就便于利用面积作媒介.注意到

　　即 由CD=BC=DE，

　　则AP+AQ+AR=5·OP

　　故AO+AQ+AR=4.应选(C).

　　例6 (第37届美国中学数学竞赛题)不等边三角形ABC的两条高的长度分别为4和12.若第三条高也为整数，那么它的长度最大可能是( ).

　　(A)4 (B)5 (C)6 (D)7

　　(E)不同于(A)-(D)的答案

　　解 设△ABC第三边上的高为h，面积为S，则该三角形的三边可表示为 显见 > .据“三角形两边之和大于第三边”有 + > ， + > .

　　解得3

　　例7 图23-6中，已知AB是直角三角形ABC的斜边，在射线AC、BC上各取一点 、 ，使 P、Q是△ABC内两点，如果P，Q到△ABC各边的距离之和相等，则PQ∥ ;反之亦然.

　　证明 设P、Q到△ABC各边的距离之和分别为S(P)，S(Q).连PA、PB、P 、P ，不难发现△APB+△AP +△ PB-△ P =△ABC-△ C(定值).

　　于是

　　= 同理， 显然，当S(P)=S(Q)时， ，

　　∴PQ∥ 反之，当PQ∥ 时， ∴S(P)=S(Q).