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初中数学竞赛专题:奇数和偶数

来源 :中华考试网 2015-06-25

  3.图表中奇与偶

  例8(第36届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数1,3,5,7…排成五列,按右表的格式排下去,1985所在的那列,从左数起是第几列?(此处无表)

  解由表格可知,每行有四个正奇数,而1985=4×496+1,因此1985是第497行的第一个数,又奇数行的第一个数位于第二列,偶数行的第一个数位于第四列,所以从左数起,1985在第二列.

  4.有趣的应用题

  例12一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室,每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通,仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通,试证明:任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室(可重复)之后回到厅外,他经过的方形门的次数与圆形门的次数(重复经过的重复计算)之差总是偶数.

  证明给出入口处展览室记"+"号,凡与"+"相邻的展览室记"-"号,凡与"-"号相邻的展览室都记"+"号,如此则相邻两室的"+"、"-"号都不同.

  一参观者从出入口处的"+"号室进入厅内,走过若干个展览室又回到入口处的"+"号室,他的路线是+-+-…+-+-,即从"+"号室起到"+"号室止,中间"-"、"+"号室为n+1(重复经过的重复计算),即共走了2n+1室,于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门(包括进出出入口门各1次).设其经过的方形门的次数是r次,经过圆形门的次数是s,则s+r=2n+2为偶数,故r-s也为偶数,所以命题结论成立.

  例13有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是数字,并且a1是奇数,a2是偶数,a3等于a1+a2的个位数…,an+2是an+an+1(n=1,2…,)的个位数,证明A是有理数.

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