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《初中数学》竞赛辅导4

来源 :中华考试网 2014-11-15

  -平面几何证明

  [竞赛知识点拨]

  1. 线段或角相等的证明

  (1)    利用全等△或相似多边形;

  (2)    利用等腰△;

  (3)    利用平行四边形;

  (4)    利用等量代换;

  (5)    利用平行线的性质或利用比例关系

  (6)    利用圆中的等量关系等。

  2. 线段或角的和差倍分的证明

  (1)    转化为相等问题。如要证明a=b±c,可以先作出线段p=b±c,再去证明a=p,即所谓“截长补短”,角的问题仿此进行。

  (2)    直接用已知的定理。例如:中位线定理,Rt△斜边上的中线等于斜边的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

  3. 两线平行与垂直的证明

  (1)    利用两线平行与垂直的判定定理。

  (2)    利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

  (3)    利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

  【竞赛例题剖析】

  【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于 CD,连结BE交CD于F。求证:BE平分CD。

  【分析1】构造两个全等△。

  连结ED、AC、AF。

  CF=DF←△ACF≌△EDF←

  ← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB

  【分析2】利用圆中的等量关系。连 结OF、OP、OB。

  ←∠PFB=∠POB←

  ← 注:连结OP、OA、OF,证明A、O、F、P四点共圆亦可。

  【例2】 △ABC内接于⊙O,P是弧 AB上的一点,过P作OA、OB的垂线,与AC、BC分别交于S、T,AB交于M、N。求证:PM=MS充要条件是PN=NT。

  【分析】只需证 , PM·PN=MS·NT。

  (∠1=∠2,∠3=∠4)→△APM∽△PBN

  → →PM·PN=AM·BN

  (∠BNT=∠AMS,∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA

  → →MS·NT=AM·BN

  【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点,两外公 切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2,M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证:∠O1AO2=∠M1AM2。

  【分析】设B为两圆的另一交点,连结并延长BA交P1P2于C,交O1O2于M,则C为 P1P2的中点,且P1M1∥CM∥P2M2,故CM为M1M2 的中垂线。

  在O1M上截取MO3=MO2,则∠M1AO3=∠M2AO2。

  故只需证∠O1AM1=∠O3AM1,即证 。

  由△P1O1M1∽P2O2M2,M1O3=M2O2,O1P1=O1A,O2P2=O2A可得。

  【例4】在△ABC中,AB>AC,∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D,DE⊥AB于E,求证:AE= 。

  【分析】方法1、2AE=AB-AC

  ← 在BE上截取EF=AE,只需证BF=AC,连结DC、DB、DF,从而只需证△DBF≌△DCA

  ← DF=DA,∠DBF=∠DCA,∠DFB=∠DAC

  ←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

  方法2、延长CA至G,使AG=AE,则只需证BE=CG

  ← 连结DG、DC、DB,则只需证△DBE≌△DCG

  ← DE=DG,∠DBE=∠DCG,∠DEB=∠DGC=Rt∠。

  【例5】∠ABC的顶点B在⊙O外,BA、BC均与⊙O相交,过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线,交⊙O于P,交BC于M。

  求证:线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。

  【分析】若角平分线过O,则P、M重合,PM=0,结论显然成立。

  若角平分线不过O,则延长DO至D‘,使OD’=OD,则 只需证DD‘=PM。连结D’P、DM,则只需证DMPD‘为平行四边形。

  过O作m⊥PK,则D D’,K P,∴∠D‘PK=∠DKP

  BL平分∠ABC,MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK

  ∴∠D’PK=∠DMK,∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM,

  ∴DMPD‘为平行四边形。

  【例6】在△ABC中,AP为∠A的平分线,AM为BC边上的中线,过B作BH⊥AP于H,AM的延长线交BH于Q,求证:PQ∥AB。

  【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质,考虑用比例证明平行。

  倍长中线:延长AM至M’,使AM=MA‘,连结BA’,如图6-1。

  PQ∥AB← ← ← ← ∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

  方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。

  延长BH交AC的延长线于B’,如图6-2。则H为BB‘的中点,因为M为BC的中点,连结HM,则HM∥B/C。延长HM交AB于O,则O为AB的中点。延长MO至M’,使OM‘=OM,连结M’A、M‘B,则AM’BM是平行四边形,

  ∴MP∥AM‘,QM∥BM’。于是, ,所以PQ∥AB。

  【例7】 菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H,在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。

  求证:MQ∥NP。(95年全国联赛二试3)

  【分析】由AB∥CD知:要证MQ∥NP,只需证∠AMQ=∠CPN,

  结合∠A=∠C知,只需证△AMQ∽△CPN← ,AM·CN=AQ·CP。

  连结AC、BD,其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K,连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ,∠MOK=α,∠KON=β,则

  ∠EOM=α,∠FON=β,∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

  ∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α

  ∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

  又∠OCN=∠MAO,∴△OCN∽△MAO,于是 ,

  ∴AM·CN=AO·CO

  同理,AQ·CP=AO·CO。

  【例8】ABCD是圆内接四边形,其对角线交于P,M、N分别是AD、BC的中点,过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证: KP⊥AB。

  【分析】延长KP交AB于L,则只需证∠PAL+∠APL=90°,

  即只需证∠PDC+∠KPC=90°,只需证∠PDC=∠PKF,

  因为P、F、K、E四点共圆,故只需证∠PDC=∠PEF,即EF∥DC。

  ← ← ←△DME∽△CNF

  【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆,与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线,垂足分别是F、G,线段DG、EF交于点M。求证:AM⊥BC。

  【分析】连结BE、CD交于H,则H为垂心,故AH⊥BC。(同一法)

  设AH⊥BC于O,DG、AH交于M1,EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。

  OM1∥DF→ →OM1= 。

  OM2∥EG→ →OM2= 。

  只需证OG·DF=EG·OF,即 ←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。

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