-平面几何证明

　　[竞赛知识点拨]

　　1. 线段或角相等的证明

　　(1)　　　 利用全等△或相似多边形;

　　(2)　　　 利用等腰△;

　　(3)　　　 利用平行四边形;

　　(4)　　　 利用等量代换;

　　(5)　　　 利用平行线的性质或利用比例关系

　　(6)　　　 利用圆中的等量关系等。

　　2. 线段或角的和差倍分的证明

　　(1)　　　 转化为相等问题。如要证明a=b±c，可以先作出线段p=b±c，再去证明a=p，即所谓“截长补短”，角的问题仿此进行。

　　(2)　　　 直接用已知的定理。例如：中位线定理，Rt△斜边上的中线等于斜边的一半;△的外角等于不相邻的内角之和;圆周角等于同弧所对圆心角的一半等等。

　　3. 两线平行与垂直的证明

　　(1)　　　 利用两线平行与垂直的判定定理。

　　(2)　　　 利用平行四边形的性质可证明平行;利用等腰△的“三线合一”可证明垂直。

　　(3)　　　 利用比例关系可证明平行;利用勾股定理的逆定理可证明垂直等。

　　【竞赛例题剖析】

　　【例1】从⊙O外一点P向圆引两条切线PA、PB和割线PCD。从A点作弦AE平行于 CD，连结BE交CD于F。求证：BE平分CD。

　　【分析1】构造两个全等△。

　　连结ED、AC、AF。

　　CF=DF←△ACF≌△EDF←

　　← ←∠PAB=∠AEB=∠PFB

　　【分析2】利用圆中的等量关系。连 结OF、OP、OB。

　　←∠PFB=∠POB←

　　← 注：连结OP、OA、OF，证明A、O、F、P四点共圆亦可。

　　【例2】 △ABC内接于⊙O，P是弧 AB上的一点，过P作OA、OB的垂线，与AC、BC分别交于S、T，AB交于M、N。求证：PM=MS充要条件是PN=NT。

　　【分析】只需证 ， PM·PN=MS·NT。

　　(∠1=∠2，∠3=∠4)→△APM∽△PBN

　　→ →PM·PN=AM·BN

　　(∠BNT=∠AMS，∠BTN=∠MAS)→△BNT∽△SMA

　　→ →MS·NT=AM·BN

　　【例3】已知A为平面上两半径不等的圆O1和O2的一个交点，两外公 切线P1P2、Q1Q2分别切两圆于P1、P2、Q1、Q2，M1、M2分别为P1Q1、P2Q2的中点。求证：∠O1AO2=∠M1AM2。

　　【分析】设B为两圆的另一交点，连结并延长BA交P1P2于C，交O1O2于M，则C为 P1P2的中点，且P1M1∥CM∥P2M2，故CM为M1M2 的中垂线。

　　在O1M上截取MO3=MO2，则∠M1AO3=∠M2AO2。

　　故只需证∠O1AM1=∠O3AM1，即证 。

　　由△P1O1M1∽P2O2M2，M1O3=M2O2，O1P1=O1A，O2P2=O2A可得。

　　【例4】在△ABC中，AB>AC，∠A的外角平分线交△ABC的外接圆于D，DE⊥AB于E，求证：AE= 。

　　【分析】方法1、2AE=AB-AC

　　← 在BE上截取EF=AE，只需证BF=AC，连结DC、DB、DF，从而只需证△DBF≌△DCA

　　← DF=DA，∠DBF=∠DCA，∠DFB=∠DAC

　　←∠DFA=∠DAF=∠DAG。

　　方法2、延长CA至G，使AG=AE，则只需证BE=CG

　　← 连结DG、DC、DB，则只需证△DBE≌△DCG

　　← DE=DG，∠DBE=∠DCG，∠DEB=∠DGC=Rt∠。

　　【例5】∠ABC的顶点B在⊙O外，BA、BC均与⊙O相交，过BA与圆的交点K引∠ABC平分线的垂线，交⊙O于P，交BC于M。

　　求证：线段PM为圆心到∠ABC平分线距离的2倍。

　　【分析】若角平分线过O，则P、M重合，PM=0，结论显然成立。

　　若角平分线不过O，则延长DO至D‘，使OD’=OD，则 只需证DD‘=PM。连结D’P、DM，则只需证DMPD‘为平行四边形。

　　过O作m⊥PK，则D D’,K P，∴∠D‘PK=∠DKP

　　BL平分∠ABC，MK⊥BL→BL为MK的中垂线→∠DKB=∠DMK

　　∴∠D’PK=∠DMK，∴D‘P∥DM。而D’ D∥PM，

　　∴DMPD‘为平行四边形。

　　【例6】在△ABC中，AP为∠A的平分线，AM为BC边上的中线，过B作BH⊥AP于H，AM的延长线交BH于Q，求证：PQ∥AB。

　　【分析】方法1、结合中线和角平分线的性质，考虑用比例证明平行。

　　倍长中线：延长AM至M’，使AM=MA‘，连结BA’，如图6-1。

　　PQ∥AB← ← ← ← ∠A‘BQ=180°-(∠HBA+∠BAH+∠CAP)= 180°-90°-∠CAP=90°-∠BAP=∠ABQ

　　方法2、结合角平分线和BH⊥AH联想对称知识。

　　延长BH交AC的延长线于B’，如图6-2。则H为BB‘的中点，因为M为BC的中点，连结HM，则HM∥B/C。延长HM交AB于O，则O为AB的中点。延长MO至M’，使OM‘=OM，连结M’A、M‘B，则AM’BM是平行四边形，

　　∴MP∥AM‘，QM∥BM’。于是， ，所以PQ∥AB。

　　【例7】 菱形ABCD的内切圆O与各边分别切于E、F、G、H，在EF与GH上分别作⊙O的切线交AB于M，交BC于N，交CD于P，交DA于Q。

　　求证：MQ∥NP。(95年全国联赛二试3)

　　【分析】由AB∥CD知：要证MQ∥NP，只需证∠AMQ=∠CPN，

　　结合∠A=∠C知，只需证△AMQ∽△CPN← ，AM·CN=AQ·CP。

　　连结AC、BD，其交点为内切圆心O。设MN与⊙O切于K，连结OE、OM、OK、ON、OF。记∠ABO=φ，∠MOK=α，∠KON=β，则

　　∠EOM=α，∠FON=β，∠EOF=2α+2β=180°-2φ。

　　∴∠BON=90°-∠NOF-∠COF=90°-β-φ=α

　　∴∠CNO=∠NBO+∠NOB=φ+α=∠AOE+∠MOE=∠AOM

　　又∠OCN=∠MAO，∴△OCN∽△MAO，于是 ，

　　∴AM·CN=AO·CO

　　同理，AQ·CP=AO·CO。

　　【例8】ABCD是圆内接四边形，其对角线交于P，M、N分别是AD、BC的中点，过M、N分别作BD、AC的垂线交于K。求证： KP⊥AB。

　　【分析】延长KP交AB于L，则只需证∠PAL+∠APL=90°，

　　即只需证∠PDC+∠KPC=90°，只需证∠PDC=∠PKF，

　　因为P、F、K、E四点共圆，故只需证∠PDC=∠PEF，即EF∥DC。

　　← ← ←△DME∽△CNF

　　【例9】以△ABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于点D、E。过D、E作BC的垂线，垂足分别是F、G，线段DG、EF交于点M。求证：AM⊥BC。

　　【分析】连结BE、CD交于H，则H为垂心，故AH⊥BC。(同一法)

　　设AH⊥BC于O，DG、AH交于M1，EF、AH交于M2。下面证M1、M2重合。

　　OM1∥DF→ →OM1= 。

　　OM2∥EG→ →OM2= 。

　　只需证OG·DF=EG·OF，即 ←Rt△OEG∽Rt△ODF←∠DOF=∠DHB=∠EHC=∠EOG。