(3)利用整数的奇偶性

　　下面我们应用第三讲介绍的整数奇偶性的有关知识来解几个整数问题.

　　例5 求证:不存在这样的整数a、b、c、d使：

　　a·b·c·d-a= ①

　　a·b·c·d-b= ②

　　a·b·c·d-c= ③

　　a·b·c·d-d= ④

　　证明 由①，a(bcd-1)= .

　　∵右端是奇数，∴左端a为奇数，bcd-1为奇数.

　　同理,由②、③、④知b、c、d必为奇数，那么bcd为奇数，bcd-1必为偶数，则a(bcd-1)必为偶数，与①式右端为奇数矛盾.所以命题得证.

　　例6 (1985年合肥初中数学竞赛题)设有n个实数x1,x2,…，xn，其中每一个不是+1就是-1，

　　且

　　试证n是4的倍数.

　　证明 设 (i=1,2,…，n-1)，

　　则yi不是+1就是-1，但y1+y2+…+yn=0，故其中+1与-1的个数相同，设为k，于是n=2k.又y1y2y3…yn=1，即(-1)k=1，故k为偶数，

　　∴n是4的倍数.

　　其他方法：

　　整数a整除整数b，即b含有因子a.这样,要证明a整除b,采用各种公式和变形手段从b中分解出因子a就成了一条极自然的思路.

　　例7 (美国第4届数学邀请赛题)使n3+100能被n+10整除的正整数n的最大值是多少?

　　解n3+100=(n+10)(n2-10n+100)-900.

　　若n+100能被n+10整除,则900也能被n+10整除.而且,当n+10的值为最大时,相应地n的值为最大.因为900的最大因子是900.所以,n+10=900,n=890.

　　例8 (上海1989年高二数学竞赛)设a、b、c为满足不等式1

　　解 ∵(ab-1)(bc-1)(ca-1)

　　=a2b2c2-abc(a+b+c)+ab+ac+bc-1，①

　　∵abc|(ab-1)(bc-1)(ca-1).

　　∴存在正整数k,使

　　ab+ac+bc-1=kabc, ②

　　k= < < < < ∴k=1.

　　若a≥3，此时

　　1= - < 矛盾.

　　已知a>1. ∴只有a=2.

　　当a=2时，代入②中得2b+2c-1=bc，

　　即 1= < ∴0

　　说明：在此例中通过对因数k的范围讨论，从而逐步确定a、b、c是一项重要解题技巧.

　　例9 (1987年全国初中联赛题)已知存在整数n，能使数 被1987整除.求证数

　　，

　　都能被1987整除.

　　证明∵ × × × (103n+ )，且 能被1987整除，∴p能被1987整除.

　　同样，

　　q= ( )

　　且 ∴ 故 、102(n+1)、 被 除，余数分别为1000，100，10，于是q表示式中括号内的数被 除，余数为1987，它可被1987整除，所以括号内的数能被1987整除，即q能被1987整除