3.图表中奇与偶

　　例7(第10届全俄中学生数学竞赛试题)在3×3的正方格(a)和(b)中，每格填“+”或“-”的符号，然后每次将表中任一行或一列的各格全部变化试问重复若干次这样的“变号”程序后，能否从一张表变化为另一张表.

　　解 按题设程序，这是不可能做到的，考察下面填法：

　　在黑板所示的2×2的正方形表格中，按题设程序“变号”，“+”号或者不变，或者变成两个.

　　表(a)中小正方形有四个“+”号，实施变号步骤后，“+”的个数仍是偶数;但表(b)中小正方形“+”号的个数仍是奇数，故它不能从一个变化到另一个.

　　显然，小正方形互变无法实现，3×3的大正方形的互变，更无法实现.

　　例8(第36届美国中学生数学竞赛试题)将奇正数1，3，5，7…排成五列，按右表的格式排下去，1985所在的那列，从左数起是第几列?(此处无表)

　　解 由表格可知，每行有四个正奇数，而1985=4×496+1，因此1985是第497行的第一个数，又奇数行的第一个数位于第二列，偶数行的第一个数位于第四列，所以从左数起，1985在第二列.

　　例9 如图3-1，设线段AB的两个端点中，一个是红点，一个是绿点，在线段中插入n个分点，把AB分成n+1个不重叠的小线段，如果这些小线段的两个端点一个为红点而另一个为绿点的话，则称它为标准线段.

　　证明 不论分点如何选取，标准线段的条路总是奇数.

　　分析 n个分点的位置无关紧要，感兴趣的只是红点还是绿点，现用A、B分别表示红、绿点;

　　不难看出：分点每改变一次字母就得到一条标准线段，并且从A点开始，每连续改变两次又回到A，现在最后一个字母是B，故共改变了奇数次，所以标准线段的条数必为奇数. 4.有趣的应用题

　　例 10(第2届“从小爱数学”赛题)图3-2是某一个浅湖泊的平面图，图中所有曲线都是湖岸.

　　(1)如果P点在岸上，那么A点在岸上还是在水中?

　　(2)某人过这湖泊，他下水时脱鞋，上岸时穿鞋.如果有一点B，他脱鞋垢次数与穿鞋的次数和是个奇数，那么B点是在岸上还是在水中?说明理由.

　　解 (1)连结AP，显然与曲线的交点数是个奇数，因而A点必在水中.

　　(2)从水中经过一次陆地到水中，脱鞋与穿鞋的次数和为2，由于 A点在水中，氢不管怎样走，走在水中时，脱鞋、穿鞋的次数的和总是偶数，可见B点必在岸上.

　　例11 书店有单价为10分，15分，25分，40分的四种贺年片，小华花了几张一元钱，正好买了30张，其中某两种各5张，另两种各10张，问小华买贺年片花去多少钱?

　　分析 设买的贺年片分别为a、b、c、d(张)，用去k张1元的人民币，依题意有

　　10a+15b+25c+40d=100k,(k为正整数)

　　即 2a+3b+5c+8d=20k

　　显然b、c有相同的奇偶性.

　　若同为偶数，b-c=10 和a=b=5， 不是整数;

　　若同为奇数，b=c=5和a=d=10,k=7.

　　例12 一个矩形展览厅被纵横垂直相交的墙壁隔成若干行、若干列的小矩形展览室，每相邻两室间都有若干方形门或圆形门相通，仅在进出展览厅的出入口处有若干门与厅外相通，试证明：任何一个参观者选择任何路线任意参观若干个展览室(可重复)之后回到厅外，他经过的方形门的次数与圆形门的次数(重复经过的重复计算)之差总是偶数.

　　证明 给出入口处展览室记“+”号，凡与“+”相邻的展览室记“-”号，凡与“-”号相邻的展览室都记“+”号，如此则相邻两室的“+”、“-”号都不同.

　　一参观者从出入口处的“+”号室进入厅内，走过若干个展览室又回到入口处的“+”号室，他的路线是+-+-…+-+-，即从“+”号室起到“+”号室止，中间“-”、“+”号室为n+1(重复经过的重复计算)，即共走了2n+1室，于是参观者从厅外进去参观后又回到厅外共走过了2n+2个门(包括进出出入口门各1次).设其经过的方形门的次数是r次，经过圆形门的次数是s，则s+r=2n+2为偶数，故r-s也为偶数，所以命题结论成立.

　　例13 有一无穷小数A=0.a1a2a3…anan+1an+2…其中ai(i=1,2)是数字，并且a1是奇数，a2是偶数，a3等于a1+a2的个位数…，an+2是an+an+1(n=1,2…,)的个位数，证明A是有理数.

　　证明 为证明A是有理数，只要证明A是循环小数即可，由题意知无穷小数A的每一个数字是由这个数字的前面的两位数字决定的，若某两个数字ab重复出现了，即0.…ab…ab…此小数就开始循环.

　　而无穷小数A的各位数字有如下的奇偶性规律：

　　A=0.奇偶奇奇偶奇奇偶奇……

　　又a是奇数可取1，3，5，7，9;

　　b是偶数可取0，2，4，6，8.

　　所以非负有序实数对一共只有25个是不相同的，在构成A的前25个奇偶数组中，至少出现两组是完全相同的，这就证得A是一循环小数，即A是有理数.