数学竞赛训练题二

　　一、选择题(本题满分36分，每小题6分)

　　1.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小整数n是( )

　　A.5 B.6 C.7 D.8

　　2.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式 ( )

　　A.有最大值而无最小值 B.有最小值而无最大值

　　C.既有最大值又有最小值，两者不等 D.是一个与面QPS无关的常数

　　3.给定数列{xn}，x1=1，且xn+1= ，则 =( )

　　A.1 B.-1 C.2+ D.-2+ 4.已知 =(cos π, sin π), , ，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等于( )

　　A.1 B. C.2 D. 5.过椭圆C： 上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)，延长PH到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为( )

　　A. B. C. D. 6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且 ， 都是方程log x=logb(4x-4)的根，则△ABC( )

　　A.是等腰三角形，但不是直角三角形 B.是直角三角形，但不是等腰三角形

　　C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形，也不是直角三角形

　　二、填空题(本题满分54分，每小题9分)

　　7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________.

　　8.如果：(1)a, b, c, d都属于{1, 2, 3, 4}

　　(2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a

　　(3)a是a, b, c, d中的最小数

　　那么，可以组成的不同的四位数abcd的个数是________.

　　9.设n是正整数，集合M={1，2，…，2n}.求最小的正整数k，使得对于M的任何一个k元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于

　　10.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________.

　　11.我们注意到6!=8×9×10，试求能使n!表示成(n-3)个连续自然三数之积的最大正整数n为__________.

　　12.对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

　　三、解答题(每小题20分，共60分)

　　13.已知a, b, c∈R+，且满足 ≥(a+b)2+(a+b+4c)2，求k的最小值。

　　14.已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线 的距离为2，Q是 上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交 于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

　　15.已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,

　　(1)当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2 ;

　　(2)当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2 ;