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2016中学教师资格证考试《高中数学学科知识》模拟试题(一)

来源 :考试网 2016-07-26

  三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)

  17.(10分)已知p:方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆;q:实数t满足不等式t2-(a-1)t-a<0.

  (1)若p为真,求实数t的取值范围;

  (2)若p是q的充分不必要条件,求实数a的取值范围.

  解:(1)∵方程+=1所表示的曲线为焦点在x轴上的椭圆,∴3-t>t+1>0.解得-1

  (2)∵p是q的充分不必要条件,∴{t|-1-1时,不等式的解集为{t|-11.②当a=-1时,不等式的解集为∅,不满足题意.③当a<-1时,不等式的解集为{t|a1.

  18.(12分)

  如图,三棱柱

  ABC—A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.

  (1)证明:AB⊥A1C;

  (2)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB,求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值.

  解:(1)取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.

  因为CA=CB,所以OC⊥AB.

  由于AB=AA1,∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形,所以OA1⊥AB.

  因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C.

  又A1C⊂平面OA1C,故AB⊥A1C.

  (2)由(1)知OC⊥AB,OA1⊥AB.

  又平面ABC⊥平面AA1B1B,交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1,OC两两相互垂直.

  以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

  由题设知A(1,0,0),A1(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0).

  则=(1,0,),==(-1,,0),=(0,-,).

  设n=(x,y,z)是平面BB1C1C的法向量,

  则,即,

  可取n=(,1,-1).

  故cosn,==-.

  所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.

  19.(12分)已知定点F(0,1)和定直线l1:y=-1,过定点F与直线l1相切的动圆圆心为点C.

  (1)求动点C的轨迹方程;

  (2)过点F的直线l2交轨迹于两点P,Q,交直线l1于点R,求·的最小值.

  解:(1)由题意,点C到点F的距离等于它到l1的距离,∴点C的轨迹是以F为焦点,l1为准线的抛物线.∴所求轨迹的方程为x2=4y.

  (2)由题意,直线PQ的斜率存在,且不为0,设直线l2的方程为y=kx+1(k≠0),与抛物线方程联立消去y,得x2-4kx-4=0.记P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4.易得点R的坐标为,∴·=·=+(kx1+2)(kx2+2)=(1+k2)x1x2+(x1+x2)++4=-4(1+k2)+4k++4=4+8,∵k2+≥2,当且仅当k2=1时取到等号,∴·≥4×2+8=16,即·的最小值为16.

  20.(12分)设F1,F2分别是椭圆:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|=a.

  (1)求该椭圆的离心率.

  (2)设点M(0,-1)满足|MP|=|MQ|,求该椭圆的方程.

  解:(1)直线PQ斜率为1,

  设直线l的方程为y=x+c,

  其中c=.

  设P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点坐标满足方程组化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0,

  则x1+x2=,x1x2=.

  所以|PQ|=|x2-x1|

  ==a.

  得a=,故a2=2b2,

  所以椭圆的离心率e===.

  (2)设PQ的中点为N(x0,y0),

  由(1)知x0===-c,

  y0=x0+c=.

  由|MP|=|MQ|得kMN=-1.

  即=-1,

  得c=3,从而a=3,b=3.

  故椭圆的方程为+=1.

  21.(12分)

  如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AC⊥AD,AB⊥BC,∠BAC=45°,PA=AD=2,AC=1.

  (1)求证:PC⊥AD;

  (2)求二面角A-PC-D的正弦值;

  (3)设E为棱PA上的点,满足异面直线BE与CD所成的角为30°,求AE的长.

  解:如右图所示,以点A为原点建立空间直角坐标系,依题意得A(0,0,0),D(2,0,0),C(0,1,0),B,P(0,0,2).

  (1)证明:=(0,1,-2),=(2,0,0),所以·=0,所以PC⊥AD.

  (2)解:=(0,1,-2),=(2,-1,0).

  设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),

  则即不妨令z=1,则x=1,y=2,故平面PCD的一个法向量为n=(1,2,1).

  可取平面PAC的法向量为m=(1,0,0).

  于是cosm,n===,从而sinm,n=,所以二面角A—PC—D的正弦值为.

  (3)解:设点E的坐标为(0,0,h),其中h∈[0,2],

  由此得=,又=(2,-1,0),

  故cos〈,〉===,所以=cos30°=,解得h=,即AE=.

  22.(12分)(2014·大纲全国卷)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|.

  (1)求C的方程;

  (2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.

  解:(1)设Q(x0,4),代入y2=2px得x0=.

  所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.

  由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.

  所以C的方程为y2=4x.

  (2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).

  代入y2=4x得y2-4my-4=0.

  设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4m,y1y2=-4.

  故AB的中点为D(2m2+1,2m),

  |AB|=|y1-y2|=4(m2+1).

  又l′的斜率为-m,所以l′的方程为x=-y+2m2+3.

  将上式代入y2=4x,并整理得y2+y-4(2m2+3)=0.

  设M(x3,y3),N(x4,y4),则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).

  故MN的中点为E,

  |MN|=|y3-y4|=.

  由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,从而|AB|2+|DE|2=|MN|2,

  即4(m2+1)2+2+2

  =,

  化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1.

  所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.

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