如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦
来源 :焚题库 2018-10-22
中问答题
如图，过半径为R的球面上一点P作三条两两垂直的弦PA、PB、PC。
（1）求证：PA
+PB+PC为定值；
（2）求三棱锥P-ABC的体积的最大值。
参考答案：
【解析】（1）设过PA、PB的平面截球得
，由PA⊥PB，则AB是的直径，连PO
并延长交于D，则PADB是矩形，PD
=PA+PB。设O为球心，则OO⊥平面。由PC⊥平面，则∥PC，因此过PC、PD的平面经过球心O，截球得大圆。又PC⊥PD, 则CD是球的直径。故PA+PB+PC=PD+PC=CD=4R，为定值。
（2）设PA、PB、PC的长分别为x、y、z，则三棱锥P-ABC的体积
。 
故
。即
。
涉及考点
初中数学考试大纲
第一部分、学科知识
第七章、高中数学学科知识-立体几何
