已知椭圆C的中心在坐标原点
来源 :焚题库 2018-04-20
中问答题已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1。（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线ι：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线ι过定点，并求出该定点的坐标。
参考答案：
【解析】（1）由题意设椭圆的标准方程为
（a>b>0），由已知得： a+c=3,a-c=1，则a=2,c=l，那么b
=a-c=3，故椭圆的标准方程为
。（2）设A（x
，），B（x
,y），联立
，得（3+4k）x+8mkx+4（m-3）=0, 故
又
。因为以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D（2，0），则
，即
,
，则
，故
。解得：m=-2k，
，且均满足
。当m=-2k时，ι的方程为y=k（x-2），直线过定点（2，0），与已知矛盾；当
时，ι的方程为
，直线过定点
，所以，直线ι过定点，定点坐标为。
涉及考点
初中数学考试大纲
第一部分、学科知识
第八章、高中数学学科知识-解析几何
