设三维空间中椭圆
来源 :焚题库 2018-05-09
中问答题【2014年真题】设三维空间中椭圆
(1)证明
的中心为原点，并求的长轴和短轴的长度。 (2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得与给定椭圆全等。
(1)证明的中心为原点，并求的长轴和短轴的长度。 (2)证明：任给一个椭圆，存在参数R和k，使得与给定椭圆全等。参考答案：
证明：(1)由已知得，椭圆
为圆柱x
+y＝R与z＝kx平面相截所得，因为圆柱x+y＝R与的中心为原点，z＝kx平面的中心为原点。故的中心为原点。椭圆与直线
的交点为椭圆的两个端点(R,0,kR)，(-R，0，-kR)，因为椭圆的长轴与短轴相互垂直，则另两个端点为椭圆与直线
的交点
。当|k|≥1时长轴长为
，短轴长为
，当|k|＜1时长轴长为
，短轴长为
。 (2)在平面z＝kx上以直线
为横轴m，以直线
为纵轴n建立直角坐标系，可得的平面方程为
。其中长短轴之比
与R无关，故对任意给定的一个椭圆其两轴长分别为a,b均可找到参数k，R使得a＝R(1+k),
其中
。即证。
