八、静定平面桁架

　　(一)理想平面桁架的假定及其按几何组成的分类。

　　理想桁架应满足下面三个假定：1.各结点均为无摩擦的理想铰;2.各杆件轴线均为 直杆，且各通过铰的几何中心;3.荷载都作用在结点上。如图2—l0a、b、c所示平面桁架均为理想桁架。

　　符合上述假定的理想桁架的各杆只承受轴向力，横截面上只产生均匀的法向应力，与梁相比，受力合理，用料经济，自重较轻，可跨越较大的跨度。

　　不符合上述假定的桁架，在杆件中会产生弯曲次应力，理论分析和实验表明，当桁架的杆件比较细长时，这种次应力与由轴力引起的应力相比所占比例不大。

　　桁架按其几何组成可分为：

　　简单桁架——从仅由三根杆件组成的三角形铰接单元出发，根据两元片规则，逐次扩展形成的桁架，如图2-10a所示。

　　联合桁架——由两个或两个以上的简单桁架联合组成的桁架，如图2-10b所示。

　　复杂桁架——不属于上述两类的桁架，如图2-10c所示。

　　桁架的有关术语表示在图2-10a中。

　　(c )

　　图2-10

　　(二)平面桁架的内力计算

　　1.节点法

　　取桁架的节点为隔离体，由平面汇交力系的平衡条件求解各杆内力的方法。从理论上讲，任何静定平面桁架都可利用节点法求出全部杆件的内力，但为了避免求解联立方程，在每次截取的节点上不应超过两个未知内力。在简单桁架中，只要按两元片规则，循着各节点形成的顺序或相反的顺序，逐次应用节点法，在每个结点的平衡方程中，最多不会超过两个未知力。

　　在计算中，有时可利用下面几种节点平衡的特殊情况。

　　(1)两杆节点上无荷载，两杆内力均为零(图2—11a);

　　(2)三杆节点上无荷载，其中在同一直线上的两杆内力相等而方向相反，另一杆内力为零(图2—11b);

　　(3)四杆节点上无荷载，且四杆相交成两直线，则处在同一直线上的两杆内力相等，但方向相反(图2—11c);

　　(4)四杆节点上无荷载，其中两杆共线而另两杆处于此线的同侧且倾角相同，则处于共线杆同侧的两杆内力等值而反向(图2—11d)。

　　图2-11

　　应用上述识别零杆的方法，容易看出图2—12a所示桁架中虚线所示的各杆均为零杆。

　　图2—12b、c分别为对称桁架承受对称荷载和反对称荷载作用。根据对称结构在对称荷载(或反对称荷载)作用下，其内力为对称(或反对称)的特点，再根据上述识别零杆的方法，可知图中虚线所示的杆件为零杆。

　　[解]

　　(1)求支座反力

　　由整体平衡条件，得VA=80kN，HA=0，VB=100kN。

　　(2)求桁架各杆轴力

　　从只含两个未知力的节点A(或节点B)开始，再依次分析邻近节点。

　　节点A(图2—13b)，设未知轴力为拉力，并采用NA2的水平分力XA2或竖向分力YA2作为未知数，则由

　　ΣY=0，得YA2=-VA=—80kN

　　再由式(2—9)得

　　XA2=-60kN

　　NA2=—100kN

　　再由ΣX=0，得NAl=60kN

　　节点1(图2—13c)，由该节点的平衡条件可得N14=60kN(拉力)，N12=40kN(拉力)。

　　依次再考虑节点2、3、4、5、6、7，每—结点不超过两个未知力。至最后节点B时，各杆轴力均为已知，可据此节点是否满足平衡条件作为内力计算的校核。各杆轴力计算的结果标注在图2—13a上，拉力为正，压力为负。

　　2.截面法

　　截取包含两个节点以上的隔离体，利用平面一般力系的平衡条件求解各杆轴力的方法。截面法中的一个隔离体，一般只能求解三个未知内力，但如果在一个截面中，除一杆外，其余各杆均相交于一点或相互平行，则该杆轴力仍可在该隔离体中求出。

　　[例2-4] 用截面法求图2—14a所示桁架中a、b、c、d、e各杆的内力。

　　[解]

　　(1)求支座反力

　　由桁架的整体平衡条件得VA=VB=1.5P，HA=0。

　　(2)求Na、Nb

　　作截面I—I，取图2—14b所示隔离体，由ΣY=0，得Na=—0.5P(压力);由ΣM2=0，得Nb=2.25P(拉力)。

　　(3)求NC

　　在结间34内作竖向截面，取右隔离体，由ΣY=0，得YC=0.5P，即NC=0.625P(拉力)。

　　(4)求Nd、Ne。

　　作截面Ⅱ—Ⅱ，取图2—14c所示隔离体，由ΣMk=0，得Nd=0.25P(拉力)。再由ΣM4=0，得Ne=—2.37P(压力)。

　　图2-15

　　对于图2—15a所示的桁架，求出支座反力后，再根据其几何组成关系，可知EDCB与E'D'C'A两部分之间，由三根不相交于一点的链杆AE、BE'、CC'相连，故可通过该三杆作截面取图2—15b所示隔离体，由力矩平衡方程先求出NEA(或NBE'或NCC')，进而再求其他各杆轴力。

　　3.节点法与截面法的联合应用

　　在桁架内力计算中，有时联合应用节点法和截面法，可使计算得到简化。

　　图2-16

　　如拟求图2—16所示桁架斜杆轴力N1，求出支座反力后，可先由节点C的ΣX=0，得N1与N1'的第一关系式。再用截面法，由I—I截面一侧隔离体的ΣY=0，得N1与N1'的第二关系式。联立求解两个关系式就可求出Nl。

　　九、静定组合结构