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2017年山东高考数学第一轮基础训练(七)

来源 :中华考试网 2016-11-05

解析:因为f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[-3(2π),θ]上的最大值为1,可知θ只能取-2(π). 答案:-2(π)

11.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[-3(2π),3(2π)]上单调递增,则ω的最大值为________.

解析:由题意,得4ω(2π)≥3(2π),∴0<ω≤4(3),则ω的最大值为4(3).答案:4(3)

12.函数y=2sin(2x+3(π))的图象关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈[-2(π),0],则x0=________.

解析:因为图象的对称中心是其与x轴的交点,所以由y=2sin(2x0+3(π))=0,x0∈[-2(π),0],得x0=-6(π).答案:-6(π)

13已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为2(π),直线x=3(π)是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________.

①y=4sin(4x+6(π))②y=2sin(2x+3(π))+2③y=2sin(4x+3(π))+2 ④y=2sin(4x+6(π))+2

解析:因为已知函数的最大值为4,最小值为0,所以m-A=0(A+m=4),解得A=m=2,又最小正周期为ω(2π)=2(π),所以ω=4,又直线x=3(π)是其图象的一条对称轴,将x=3(π)代入得sin(4×3(π)+φ)=±1,所以φ+3(4π)=kπ+2(π)(k∈Z ),即φ=kπ-6(5π)(k∈Z ),当k=1时,φ=6(π).答案:④

14有一种波,其波形为函数y=sin2(π)x的图象,若在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是________.

解析:函数y=sin2(π)x的周期T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则t≥4(5)T=5.答案:5

15已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是________.

解析:∵y=sinωx+cosωx=2sin(ωx+6(π)),且由函数y=f(x)与直线y=2的两个相邻交点间的距离为π知,函数y=f(x)的周期T=π,∴T=ω(2π)=π,解得ω=2,∴f(x)=2sin(2x+6(π)).令2kπ-2(π)≤2x+6(π)≤2kπ+2(π)(k∈Z ),得kπ-3(π)≤x≤kπ+6(π)(k∈Z ).答案:[kπ-3(π),kπ+6(π)](k∈Z )

16.已知向量a =(2sinωx,cos2ωx),向量b =(cosωx,2),其中ω>0,函数f(x)=a ·b ,若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意实数x∈[6(π),3(π)],恒有|f(x)-m|<2成立,求实数m的取值范围.

解:(1)f(x)=a ·b =(2sinωx,cos2ωx)·(cosωx,2)=sin2ωx+(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+3(π))+.∵相邻两对称轴的距离为π,∴2ω(2π)=2π,∴ω=2(1),

∴f(x)=2sin(x+3(π))+.

(2)∵x∈[6(π),3(π)],∴x+3(π)∈[2(π),3(2π)],∴2≤f(x)≤2+.又∵|f(x)-m|<2,

∴-2+m

,(3,)解得≤m≤2+2.

17.设函数f(x)=a ·b ,其中向量a =(2cosx,1),b =(cosx,sin2x+m).

(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;

(2)当x∈[0,6(π)]时,f(x)的最大值为4,求m的值.

解:(1)∵f(x)=a ·b =2cos2x+sin2x+m=2sin(2x+6(π))+m+1,

∴函数f(x)的最小正周期T=2(2π)=π.

在[0,π]上的单调递增区间为[0,6(π)],[3(2π),π].

(2)当x∈[0,6(π)]时,∵f(x)单调递增,∴当x=6(π)时,f(x)取得最大值为m+3,即m+3=4,解之得m=1,∴m的值为1.

12.已知函数f(x)=sinωx-2sin22(ωx)+m(ω>0)的最小正周期为3π,且当x∈[0,π]时,函数 f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.

解:(1)f(x)=sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+6(π))-1+m.

依题意,函数f(x)的最小正周期为3π,即ω(2π)=3π,解得ω=3(2).

∴f(x)=2sin(3(2x)+6(π))-1+m.

当x∈[0,π]时,6(π)≤3(2x)+6(π)≤6(5π),2(1)≤sin(3(2x)+6(π))≤1,

∴f(x)的最小值为m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin(3(2x)+6(π))-1.

(2)由题意,得f(C)=2sin(3(2C)+6(π))-1=1,∴sin(3(2C)+6(π))=1.

而6(π)≤3(2C)+6(π)≤6(5π),∴3(2C)+6(π)=2(π),解得C=2(π).∴A+B=2(π).

在Rt△ABC中,∵A+B=2(π),2sin2B=cosB+cos(A-C).

∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得sinA=2(5).∵0

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