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2017年宁夏高考数学综合提升训练(四)

来源 :中华考试网 2016-11-10

参考答案

1D [解析] 因为向量ab方向上的投影是|a|cosab〉,又

 

cosab〉=|a|·|b|(a·b)2×1(1)2(1),所以|a|cosab〉=1.

 

2A [解析] 由题意得a·ca·(ab)a2a·b1|a|b|cos 120°110,则ca.

 

3A [解析] 由(AB)·(BC)0,可得角B为钝角,此时ABC是钝角三角形,条件是充分的;反之,当ABC是钝角三角形时,角B不一定为钝角,故不一定有(AB)·(BC)0,条件是不必要

的.故(AB)·(BC)0ABC是钝角三角形的充分不必要条件.

 

4C [解析] 易知|a|5cosab〉=|a||b|(a·b)5×2(-5)=-2(1),即向量ab的夹角为3().

54 60° [解析] 由|ab|,平方得a22a·bb213,代入已知条件得b216,得|b|4,所以cosab〉=|a||b|(a·b)3×4(6)2(1),所以〈ab〉=60°.

 

6B [解析] |(AB)|1

 

|(BC)|2

 

(AB)·(BC)2cos 18°·cos 63°2cos 72°·cos 27°2cos 18°·cos 63°2sin 18°·sin 63°2cos 45°.(AB)(BC)的夹角为α

 

所以cos α|(BC)2(2),得α45°,所以三角形的内角B135°,因此ABC的面积S2(1)|(AB)|(BC)sin 135°2(2).

 

7B [解析] 设外接圆的圆心为O(CO)(OP)的夹角为θ(θ[0π]),在正三角形ABC中,易知|(OA)||(OB)||(OC)||(OP)|1,则(AP)·(PB)((OP)(OA))·((OB)(OP))(OP)·((OA)(OB))(OP)2(OA)

 

·(OB)(OP)·(CO)2(1)|(OP)|(CO)|cosθ2(1)coθ2(1),所以(AP)·(PB)的取值范围为2(1).

 

8C [解析] 如图所示,由于(BC)(CD),点O在线段CD上,故存在实数λ(01),使得(CO)λ(CD)

 

(AO)(AC)(CO)(AC)λ(CD)(AC)λ(BC)(AC)λ((AC)(AB))=-λ(AB)(1λ)(AC).(AO)x(AB)(1x)(AC)x=-λ.0<λ<11<λ<0,即-1<x<0.

 

9B [解析] 显然ACBC,以点C为坐标原点,射线CACB分别为x轴、y轴的正方向建立平面直角坐标系,则C(00)A(30)B(04).设(CP)(CA)λ(AB)(30)λ(34)

 

(33λ4λ),其中0λ1,则(CP)·((BA)(BC))(CP)·(CA)(33λ4λ)·(30)99λ9,故(CP)·((BA)(BC))的最大值为9.

10D [解析] 由a·(a2b)0|a|1,得a·b=-2(1),得〈ab〉=120°.在平面直角坐标系中,设a(10)b3(),则a2b(0).设c(xy),由|ca2b|1x2(y)2

 

1,即向量c的终点在圆x2(y)21上,所以|c|的最大值为1.

 

11 [解析] 由|4ab|216a28a·bb2168×5cos 120°2561,得|4ab|.

 

122i [解析] b+i((1+ai)(1-i))2i(1ai)(1i)(2i)·(bi)1a(a1)i2b1(2b)i,所以a-1=2-b,(1+a=2b+1,)解得b=1.(a=2,)

 

13.2 [解析] 由(OP)(OA)λ((AB)(AC)),得(AP)λ((AB)(AC)),当λ2(1)时,由|(AP)|2,得(AB)(AC)2(AP),所以|(AB)(AC)|4.

 

(PA)·(PB)(PA)·(PC)(PA)·((PB)(PC))(PA)·((AB)(AP)(AC)(AP))=-λ((AB)(AC))·[(AB)(AC)2λ((AB)(AC))]λ(2λ1)·((AB)(AC))216(2λ2λ),当λ4(1)时上式有最小值-2.

 

14解:(1)atb(2t32t)|atb|2(2t3)2(2t)25t28t1355(4)5(49),当t5(4)时,|atb|取得最小值5(5).

 

(2)atb(32t2t),因为atbc共线,所以32t63t0,即t5(3).

 

15解:(1)原式=(AP)1·((AB)(AP)2)2(AP)1(2)8(13).

 

(2)(i)02(1)取不到(1)之间的任何一个值均可.

 

理由是:此时向量(PA)(PC)之间的夹角为锐角.

 

(ii)(PA)·(PC)|(PC)||(PA)|cosAPC.

 

P在线段BP2上时,(PA)·(PC)0

 

P在线段P2C上时,(PA)·(PC)0.

 

要使(PA)·(PC)最小,则P必在线段P2C上,设|(PC)|x,则(PA)·(PC)|(PC)||(PA)|cosAPC|(PC)(|(PP)2|)x22(1)x.

 

x4(1),即当PP3时,(PA)·(PC)最小,此时cosPAB26(5).

 

16解:(1)m(1sin 2x)n(cos 2x)f(x)m·n

 

f(x)cos 2xsin 2x2sin6(π).

 

f(A)12sin6(π)1.

 

0<A<π6(π)<2A6(π)<6(13π)

 

2A6(π)6()A3(π).

 

(2)由余弦定理知cos A2bc(b2+c2-a2)2(1).

 

ab2c2bc3.

 

bc3bc2

SABC2(1)bcsin A2(3).

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