参考答案

1．C　[解析]    由sin C(AB)＝sin B(AC)，即sin C(3)＝2(1)，得sin C＝2(3)，所以C＝120°(C＝60°舍去)．又B＝30°，所以A＝30°，所以S_△ABC＝2(1)AB·AC sin A＝4(3).

2．B　[解析] 易知C＝30°.由正弦定理得sin 45°(2)＝sin 30°(c)，所以c＝1.

3．B　[解析] f(x)＝sin 2x－2(1)sin 2x－2(3)cos 2x＝2(1)sin 2x－2(3) cos 2x＝sin3(π)，易知f(x)的最小值为－1.

4．C　[解析] sin⁴θ＋cos⁴θ＝(sin²θ＋cos²θ)²－2sin²θcos²θ＝1－2(1)sin²2θ＝1－2(1)(1－cos²2θ)＝1－2(1)9(1)＝9(5).

5．6(π)　[解析]     由正弦定理及已知，得a²＋c²－b²＝ac，

∴2ac(a2＋c2－b2)＝2(3)，即cos B＝2(3)，∴B＝6(π).

6．C　[解析] cos²4(π)＝2()＝2(1＋sin 2α)＝

3()＝3(2).

7．B　[解析] 由题意得3()＝4π(3)，所以CA·CB＝3.在△AOB中，由OA＝OB＝1，→(OA)·→(OB)＝－2(1)，得∠AOB＝3(2π)，所以AB＝.由余弦定理得AB²＝CA²＋CB²－2CA·CB·cos3(π)，即CA²＋

CB²＝6，结合CA·CB＝3，得CA＝CB＝，所以△ABC为等边三角形．

8．A 　[解析] 依题意得sin²A－sin²B＝sin Asin C－sin² C，

∴由正弦定理可得a²－b²＝ac－c²，∴a²＋c²－b²＝ac，

∴cos B＝2ac(a2＋c2－b2)＝2(2)，∴B＝4(π).

9．C　[解析] 设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由已知条件可知bccos A＝7，a＝6.根据余弦定理可得36＝b²＋c²－14，所以b²＋c²＝50，所以bc≤25.S_△ABC＝2(1)bcsin A＝2(1)bc

＝2(1)bc（bc）2(49)＝2(1)≤2(1)＝12，当且仅当b＝c＝5时等号成立，故所求最大值为12.

10．A　[解析] 由于G为△ABC的重心，所以→(GA)＋→(GB)＋→(GC)＝0，即→(GC)＝－→(GA)－→(GB)，所以c(3)→(GA)＋c(3)→(GB)＝0，所以a＝b＝3(3)c，所以cos A＝2bc(b2＋c2－a2)＝3()＝2(3).又0＜A＜π，所以A＝6(π).

11．－7(24)　[解析] 因为α∈，0(π)，cos(π－α)＝－5(4)，所以sinα＝－5(3)，tanα ＝－4(3)，所以tan 2α＝1－tan2α(2tan α)＝－7(24).

12． 　[解析] △ABC的面积S＝2(1)××3(4)＝3(2)，又S＝2(1)AC·BC·sin C＝4(3)AC·BC，所 以AC·BC＝3(8).根据余弦定理有AB²＝AC²＋BC²－2AC·BC·cos C＝(AC＋BC)²－3AC·BC，所以(AC＋BC)²＝3＋3×3(8)＝11，所以AC＋BC＝.

13． 2　[解析] 设△ABC外接圆的半径为R，则2R＝sin 120°(BC)＝3()＝3()≥2(3)＝2，当且仅当a＝b＝1时等号成立．

14．解：(1)由已知可得1＋cos B＝sin B，∴sin6(π)＝2(1).

又0<B<π，∴B＝3(π)，∴C＝π－A－B＝4(π)，

∴c＝sin B(b)·sin C＝3(6).

(2)由(1)知B＝3(π)，∴由余弦定理得b²＝a²＋c²－2accos B.

又a＝2c，∴c²＝3(1)，∴△ABC的面积S＝2(1)acsin B＝6(3).

15．解：(1)证明：∵acos²2(C)＋ccos²2(A)＝a·2(1＋cos C)＋c·2(1＋cos A)＝2(3)b,  即a(1＋cos C)＋c(1＋cos A)＝3b，

 ∴由正弦定理可得

  sin A＋sin Acos C＋sin C＋cos Asin C＝3sin B，

 即sin A＋sin C＋sin(A＋C)＝3sin B，

  ∴sin A＋sin C＝2sin B.              

∴由正弦定理可得a＋c＝2b，

  故a，b，c成等差数列.           

  (2)由B＝60°，b＝4及余弦定理得 4²＝a²＋c²－2accos 60°，

  ∴(a＋c)²－3ac＝16.

   又由(1)知a＋c＝2b，

  ∴有4b²－3ac＝16，即64－3ac＝16，

  解得ac＝16,

      ABC的面积S＝2(1)acsin B＝2(1)acsin 60°＝4.