2017年海南高考数学基础训练试题（三）
来源 :中华考试网 2017-03-28
中本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～2题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上)
13.(2016·唐山期末)若(x2+ax+1)6(a>0)的展开式中x2的系数是66，则sin xdx的值为________.
1-cos 2 由题意可得(x2+ax+1)6的展开式中x2的系数为C+Ca2.
故C+Ca2=66，所以a=2或a=-2(舍去).
故sin xdx=sin xdx=(-cos x)|=1-cos 2.]
14.已知p：-2≤x≤11，q：1-3m≤x≤3+m(m>0)，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________.
8，+∞) 因为綈p是綈q的必要不充分条件，
所以q是p的必要不充分条件，即pq，但qD/p，
即即所以m≥8.]
15.如图5，菱形ABCD的边长为1，ABC=60°，E，F分别为AD，CD的中点，则·=________.
图5
·=·=·+·+·+·=1×1×cos 60°+×1×1+×1×1+×1×1×cos 60°=+=.]
16.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2ccos B=2a+b，ABC的面积为S=c，则ab的最小值为________.
在ABC中，由条件及正弦定理可得2sin Ccos B=2sin A+sin B=2sin (B+C)+sin B，
即 2sin Ccos B=2sin Bcos C+2sin Ccos B+sin B，
2sin Bcos C+sin B=0，cos C=-，C=.
由于ABC的面积为S=ab·sin C=ab=c，
c=3ab.
再由余弦定理可得c2=a2+b2-2ab·cos C，整理可得9a2b2=a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a=b时，取等号，
ab≥.]
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分12分)设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7且a1+3,3a2，a3+4构成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=ln an，n=1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.
解] (1)设{an}是公比为q大于1的等比数列，
a1+3,3a2，a3+4构成等差数列，
6a2=a3+4+a1+3，化为6a1q=a1q2+7+a1.4分
又S3=a1(1+q+q2)=7.
联立解得a1=1，q=2.
an=2n-1.6分
(2)bn=ln an=(n-1)ln 2，
数列{bn}的前n项和Tn=ln 2.12分
18.(本小题满分12分)性格色彩学创始人乐嘉是江苏电视台当红节目“非诚勿扰”的特约嘉宾，他的点评视角独特，语言犀利，给观众留下了深刻的印象，某报社为了了解观众对乐嘉的喜爱程度，随机调查观看了该节目的140名观众，得到如下的列联表：(单位：名)
男 女 总计 喜爱 40 60 100 不喜爱 20 20 40 总计 60 80 140 (1)从这60名男观众中按对乐嘉是否喜爱采取分层抽样，抽取一个容量为6的样本，问样本中喜爱与不喜爱的观众各有多少名?
(2)根据以上列联表，问能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.(精确到0.001)
(3)从(1)中的6名男性观众中随机选取两名作跟踪调查，求选到的两名观众都喜爱乐嘉的概率.
附：
P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 2.705 3.841 5.024 6.635 7.879 K2=.
解] (1)抽样比为=，
则样本中喜爱的观众有40×=4名;不喜爱的观众有6-4=2名.4分
(2)假设：观众性别与喜爱乐嘉无关，由已知数据可求得，
K2==≈1.167<5.024.
所以不能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为观众性别与喜爱乐嘉有关.8分
(3)记喜爱乐嘉的4名男性观众为a，b，c，d，不喜爱乐嘉的2名男性观众为1,2，则基本事件分别为：(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a,1)，(a,2)，(b，c)，(b，d)，(b,1)，(b,2)，(c，d)，(c,1)，(c,2)，(d,1)，(d,2)，(1,2).
其中选到的两名观众都喜爱乐嘉的事件有6个，
故其概率为P(A)==0.4.12分
19.(本小题满分12分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1底面ABC，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点D是AB的中点.
(1)求证：ACBC1，
(2)求证：AC1平面CDB1;
(3)求三棱锥DAA1C1的体积.
图
解] (1)证明：AC=3，AB=5，BC=4，AC⊥BC.
∵BB1⊥平面ABC，AC平面ABC，
AC⊥CC1，又BC∩CC1=C，BC平面BCC1B1，CC1平面BCC1B1，
AC⊥平面BCC1B1.BC1⊂平面BCC1B1，
AC⊥BC1. 4分
(2)证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE.
四边形BCC1B1是平行四边形，E是BC1的中点.
D是AB的中点，
DE∥AC1.又DE⊂平面CDB1，AC1平面CDB1，
AC1∥平面CDB1.8分
(3)VBAA1C1=VBACC1=VC1ABC=SABC·CC1=××3×4×4=8.
D是AB的中点，
VDAA1C1=VBAA1C1=4.12分