11.已知函数f(n)=n2cos(nπ)，且an=f(n)+f(n+1)，则a1+a2+a3+…+a100等于(　　)

A.0B.-100

C.100D.10200

答案　B

解析　∵f(n)=n2cos(nπ)

==(-1)n·n2，

∴由an=f(n)+f(n+1)=(-1)n·n2+(-1)n+1·(n+1)2=(-1)n[n2-(n+1)2]=(-1)n+1·(2n+1)，

得a1+a2+a3+…+a100=3+(-5)+7+(-9)+…+199+(-201)=50×(-2)=-100.故选B.

12.设等比数列{an}的公比为q，其前n项之积为Tn，并且满足条件：a1>1，a2015a2016>1，<0.给出下列结论：

①00;③T2016的值是Tn中最大的;④使Tn>1成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为(　　)

A.①③B.②③

C.①④D.②④

答案　C

解析　由<0可知：a2015<1或a2016<1.

如果a2015<1，那么a2016>1，若a2015<0，则q<0;

又因为a2016=a1q2015，所以a2016应与a1异号，

即a2016<0，这与假设矛盾，所以q>0.

若q≥1，则a2015>1且a2016>1，与推出的结论矛盾，所以01，a2016<1，所以数列从第2016项开始小于1，所以T2015最大.故③错误.

由结论①可知数列从第2016项开始小于1，而Tn=a1a2a3…an，

T4031=a1·a2·…·a4031=(a1·a4031)·(a2·a4030)·…·(a2015·a2017)·a2016<1，

所以Tn>1对应的最大自然数为4030，故④正确.

13.已知等比数列{an}是递增数列，Sn是{an}的前n项和.若a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，则S6=________.

答案　63

解析　解方程x2-5x+4=0，得x1=1，x2=4.

因为数列{an}是递增数列，且a1，a3是方程x2-5x+4=0的两个根，所以a1=1，a3=4.

设等比数列{an}的公比为q，则q2===4，

所以q=2.则S6===63.

14.某慢性疾病患者，因病到医院就医，医生给他开了处方药(片剂)，要求此患者每天早、晚间隔12小时各服一次药，每次一片，每片200毫克.假设该患者的肾脏每12小时从体内大约排出这种药在其体内残留量的50%，并且医生认为这种药在体内的残留量不超过400毫克时无明显副作用.若该患者第一天上午8点第一次服药，则第二天上午8点服完药时，药在其体内的残留量是________毫克.若该患者坚持长期服用此药，则________明显副作用(此空填“有”或“无”).

答案　350　无

解析　设该病人第n次服药后，药在体内的残留量为an毫克，

所以a1=200，a2=200+a1(1-50%)=300，

a3=200+a2(1-50%)=350.

由an=200+0.5an-1 (n≥2)，

得an-400=0.5(an-1-400) (n≥2)，

所以{an-400}是一个等比数列，

所以an-400=-200×0.5n-1<0，∴an<400.

所以若该患者坚持长期服用此药无明显副作用.

15.若数列{an}是正项数列，且++…+=n2+3n，则++…+=________.

答案　2n2+6n

解析　记Tn=++…+，

∴=Tn-Tn-1=n2+3n-[(n-1)2+3(n-1)]

=2(n+1)，

∴an=4(n+1)2 (n≥2).

令n=1，∴=4a1=16，∴an=4(n+1)2，

∴=4(n+1).

∴++…+=4(2+3+…+n+1)

=4··n=2n2+6n.

16.已知各项均为正数的数列{an}满足an+1=+，a1=，Sn为数列{an}的前n项和，若对于任意的n∈N*，不等式≥2n-3恒成立，则实数k的取值范围为________.

答案　k≥

解析　an+1=Aan+Ban+1-=A(an-)，

因此an+1-=(an-)，

故{an-}是首项为3，公比为的等比数列.

因此2Sn-n=12(1-)，

故不等式可化简为k≥.

因此令函数f(n)=，

令f′(n)==0，

解得2n=+3，正整数n可取2或3，

f(2)=，f(3)=.

所以k≥.