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2017年高考数学(理)增分练习(四)

来源 :中华考试网 2017-04-17

1.在等比数列{an}中,若a1=,a4=3,则该数列前五项的积为(  )

A.±3B.3

C.±1D.1

答案 D

解析 因为a4=a1q3,3=×q3,q=3,

所以a1a2a3a4a5=a=(a1q2)5=(×9)5=1,故选D.

2.已知数列{an}是公差为2的等差数列,且a1,a2,a5成等比数列,则a2为(  )

A.-2B.-3

C.2D.3

答案 D

解析 a1=a2-2,a5=a2+6,

∴a=a1a5=(a2-2)(a2+6),解得a2=3,故选D.

3.等差数列{an}的前n项和为Sn,若=,则等于(  )

A.2B.C.D.

答案 C

解析 当n=3时,==,

∴=.故选C.

4.已知数列{an}满足a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,则该数列的前12项和为(  )

A.211B.212

C.126D.147

答案 D

解析 ∵a1=1,a2=2,an+2=(1+cos2)an+sin2,

∴a3=a1+1=2,a4=2a2=4,…,a2k-1=a2k-3+1,a2k=2a2k-2 (k∈N*,k≥2).

∴数列{a2k-1}成等差数列,数列{a2k}成等比数列.

∴该数列的前12项和为(a1+a3+…+a11)+(a2+a4+…+a12)=(1+2+…+6)+(2+22+…+26)=+=21+27-2=147.故选D.

5.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且a2+a7+a12=24,则S13等于(  )

A.52B.78

C.104D.208

答案 C

解析 由a2+a7+a12=24,得a7=8,

所以,S13==13a7=104,故选C.

6.正项等比数列{an}中的a1,a4031是函数f(x)=x3-4x2+6x-3的极值点,则loga2016等于(  )

A.1B.2

C.D.-1

答案 A

解析 ∵f′(x)=x2-8x+6,∴a1·a4031=6,

∴a=6,∵a2016>0,

∴a2016=,loga2016=1.

7.设Sn为数列{an}的前n项和,且Sn=(an-1)(n∈N*),则an等于(  )

A.3(3n-2n) B.3n+2

C.3nD.3·2n-1

答案 C

解析 由已知得,

解得

代入选项检验,只有C符合.

8.《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为(  )

A.1升B.升

C.升D.升

答案 B

解析 设竹子自上而下各节的容积分别为:a1,a2,…,a9,且为等差数列,根据题意得:a1+a2+a3+a4=3,

a7+a8+a9=4,即4a1+6d=3,①3a1+21d=4,②

②×4-①×3得:66d=7,解得d=,

代入①得:a1=,则a5=+(5-1)×=.

9.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n (n∈N*),则S2015等于(  )

A.22015-1B.21009-3

C.3×21007-3D.21008-3

答案 B

解析 ∵a1=1,an+1·an=2n,∴a2=2,

∴当n≥2时,an·an-1=2n-1,

∴==2,

∴数列{an}中奇数项、偶数项分别成等比数列,

∴S2015=+=21009-3,故选B.

10.已知数列{an}的通项公式为an=log2 (n∈N*),设其前n项和为Sn,则使Sn<-5成立的自然数n(  )

A.有最小值63B.有最大值63

C.有最小值31D.有最大值31

答案 A

解析 ∵an=log2(n∈N*),

∴Sn=a1+a2+a3+…+an

=log2+log2+…+log2

=log2(××…×)=log2,

又因为Sn<-5=log2<⇒n>62,

故使Sn<-5成立的正整数n有最小值63.故选A.

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