1.已知平面向量a，b满足|a|=|b|=1，a⊥(a-2b)，则|a+b|等于(　　)

A.0B.

C.2D.

答案　D

解析　∵a⊥(a-2b)，∴a·(a-2b)=0，

∴a·b=a2=，

∴|a+b|==

==.

2.已知向量a，b，其中a=(-1，)，且a⊥(a-3b)，则b在a上的投影为(　　)

A.B.-

C.D.-

答案　C

解析　由a=(-1，)，且a⊥(a-3b)，

得a·(a-3b)=0=a2-3a·b=4-3a·b，a·b=，

所以b在a上的投影为==，故选C.

3.在平面直角坐标系中，已知点A，B分别是x轴，y轴上的一点，且|AB|=1，若点P(1，)，则|++|的取值范围是(　　)

A.[5,6]B.[6,7]

C.[6,9]D.[5,7]

答案　D

解析　设A(cosθ，0)，B(0，sinθ)，

则++=(3-cosθ，3-sinθ)，

|++|2=(3-cosθ)2+(3-sinθ)2

=37-6(cosθ+sinθ)=37-12sin(θ+)，

即可求得范围是[5,7].

4.已知向量a=(1，x)，b=(-1，x)，若2a-b与b垂直，则|a|等于(　　)

A.B.

C.2D.4

答案　C

解析　a=(1，x)，b=(-1，x)，

∴2a-b=2(1，x)-(-1，x)=(3，x)，

由(2a-b)⊥b3×(-1)+x2=0，

解得x=-或x=，

∴a=(1，-)或a=(1，)，

∴|a|==2或|a|==2.

故选C.

5.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=，=2，点F在边CD上，若·=3，则·的值为(　　)

A.4B.

C.0D.-4

答案　D

解析　如图所示，=2BE=BC=，

·=3AFcos∠BAF=1DF=1，

以点A为原点建立平面直角坐标系，AD所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，则B(0,3)，F(，1)，E(，3)，

因此=(，-2)，·=×-2×3=2-6=-4.

6.在梯形ABCD中，AD∥BC，已知AD=4，BC=6，若=m+n (m，n∈R)，则等于(　　)

A.-3B.-

C.D.3

答案　A

解析　如图，作AE∥DC，交BC于点E，则ADCE为平行四边形，==m+n，

又=+=-，

所以故=-3.

7.在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN=，则·的取值范围为(　　)

A.[3,6]B.[4,6]

C.[2，] D.[2,4]

答案　B

解析　以点C为坐标原点，CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则A(3,0)，B(0,3)，

∴AB所在直线的方程为：+=1，

则y=3-x.

设N(a,3-a)，M(b,3-b)，

且0≤a≤3,0≤b≤3，不妨设a>b，

∵MN=，∴(a-b)2+(b-a)2=2，

∴a-b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，

∴·=(b,3-b)·(a,3-a)

=2ab-3(a+b)+9=2(b2-2b+3)

=2(b-1)2+4,0≤b≤2，

∴当b=0或b=2时有最大值6;

当b=1时有最小值4.

∴·的取值范围为[4,6]，故选B.

8.△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，设向量n=(a+c，sinB-sinA)，m=(a+b，sinC)，若m∥n，则角B的大小为(　　)

A.B.

C. D.

答案　B

解析　若m∥n，则(a+b)(sinB-sinA)-sinC(a+c)=0，

由正弦定理可得：(a+b)(b-a)-c(a+c)=0，

化为a2+c2-b2=-ac，

∴cosB==-.

∵B∈(0，π)，∴B=，故选B.

9.如图，在直角梯形ABCD中，AB=2AD=2DC，点E为BC边上一点，=3，点F为AE的中点，则等于(　　)

A.-B.-

C.-+D.-+

答案　C

解析　如图，取AB的中点G，连接DG，CG，则DG∥BC，

∴==-=-，

=+=+=+(-)

=+，

于是=-=-

=(+)-

=-+，

故选C.

10.设点P是△ABC所在平面内的一点，且=2，则△PAB与△PBC的面积之比是(　　)

A.1∶3B.1∶2

C.2∶3D.3∶4

答案　B

解析　依题意，得CP=2PA，设点B到AC之间的距离为h，

则△PAB与△PBC的面积之比为==.

11.在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，m=(a，b)，n=(sinB，cosA)，m⊥n，b=2，a=，则△ABC的面积为(　　)

A.B.

C. D.2

答案　C

解析　∵在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，

m=(a，b)，n=(sinB，cosA)，m⊥n，b=2，a=，

∴m·n=asinB+bcosA=sinB+2cosA=0，

∴sinB=-，

由正弦定理得=，

整理得sinA=-cosA，

∴sin2A+cos2A=4cos2A=1，cosA<0，

∴cosA=-.∵00)，如果在直线3x+4y+25=0上存在点P，使得∠APB=90°，则m的取值范围是________.

答案　[5，+∞)

解析　∵点P在直线3x+4y+25=0上，

设点P(x，)，

∴=(x+m，)，=(x-m，).

又∠APB=90°，

∴·=(x+m)(x-m)+()2=0，

即25x2+150x+625-16m2=0.

由Δ≥0，即1502-4×25×(625-16m2)≥0，

解得m≥5或m≤-5.

又m>0，∴m的取值范围是[5，+∞).

15.设向量=(-1，-3)，=(2sinθ，2)，若A，B，C三点共线，则cos2θ=________.

答案

解析　向量=(-1，-3)，=(2sinθ，2)，

∵A，B，C三点共线，∴-6sinθ=-2，∴sinθ=，

∴cos2θ=1-2sin2θ=.

16.在△ABC中，AB=，cosB=，点D在边AC上，BD=，且=λ(+) (λ>0)，则sinA的值为________.

答案

解析　如图，过点B作BE⊥AC，垂足为E，取AC中点F，连接BF，则=λ(+) (λ>0)

=λ(+)=，

∴和共线，∴点D和点F重合，

∴D是AC的中点.

∵=(+)，

∴||2=(||2+||2+2·)

=+||+=5.

又AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cosB，

即AC2=+BC2-·BC·，

解方程可得BC=2，AC=，

由正弦定理=，

且sinB===，

可得sinA===.