1.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(　　)

A.y=2xB.y=x3+x

C.y=-D.y=-log2x

答案　B

解析　若函数是奇函数，则f(-x)=-f(x)，故排除A、D;对C：y=-在(-∞，0)和(0，+∞)上单调递增，但在定义域上不单调，故C错，故答案为B.

2.已知函数f(x)=|lnx|-1，g(x)=-x2+2x+3，用min{m，n}表示m，n中的最小值.设函数h(x)=min{f(x)，g(x)}，则函数h(x)的零点个数为(　　)

A.1B.2C.3D.4

答案　C

解析　画图可知四个零点分别为-1和3，和e，但注意到f(x)的定义域为x>0，故选C.

3.已知函数f(x)=ln(2x+)-，若f(a)=1，则f(-a)等于(　　)

A.0B.-1

C.-2D.-3

答案　D

解析　因为f(a)+f(-a)=+=-2，

所以f(-a)=-2-f(a)=-2-1=-3.故选D.

4.设函数f(x)=ex+x-2，g(x)=lnx+x2-3，若实数a，b满足f(a)=g(b)=0，则(　　)

A.f(b)<00，所以00，所以10，g(a)<0，故g(a)<00)上的值域为[m，n]，则m+n的值是(　　)

A.0B.1

C.2D.4

答案　D

解析　f(x)=1++sinx=1+2()+sinx=3-+sinx，

m+n=f(-k)+f(k)

=6-2(+)+sin(-k)+sink=6-2=4.

6.函数y=4cosx-e|x|(e为自然对数的底数)的图象可能是(　　)

答案　A

解析　由解析式知函数为偶函数，故排除B、D.又f(0)=4-1=3>0，故选A.

7.设函数y=f(x)是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R都有f(x+6)=f(x)+f(3)，则满足上述条件的f(x)可以是(　　)

A.f(x)=cosB.f(x)=sin

C.f(x)=2cos2D.f(x)=2cos2

答案　C

解析　根据y=f(x)是偶函数，排除B;由f(x+6)=f(x)+f(3)知道y=f(x)是周期函数，6是它的一个周期，C选项可整理为f(x)=1+cos，其周期为T==6，符合题意，故选C.

8.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d (a≠0).已知五个方程的相异实根个数如下表所述：

f(x)-20=0 1 f(x)+10=0 1 f(x)-10=0 3 f(x)+20=0 1 f(x)=0 3 α为f(x)的极大值，下列选项中正确的是(　　)

A.0<α<10 B.10<α<20

C.-10<α<0D.-20<α<-10

答案　B

解析　方程f(x)-k=0的相异实根数可化为方程f(x)=k的相异实根数，方程f(x)=k的相异实根数可化为函数y=f(x)与水平线y=k两图形的交点数.依题意可得两图形的简略图有以下两种情形：

(1)当a为正时，

(2)当a为负时，

因极大值点位于水平线y=10与y=20之间，所以其纵坐标α(即极大值)的范围为10<α<20.

9.奇函数f(x)、偶函数g(x)的图象分别如图1、2所示，方程f(g(x))=0、g(f(x))=0的实根个数分别为a、b，则a+b等于(　　)

A.14B.10

C.7D.3

答案　B

解析　由图可知，图1为f(x)的图象，图2为g(x)的图象，m∈(-2，-1)，n∈(1,2)，∴方程f(g(x))=0g(x)=-1或g(x)=0或g(x)=1x=-1，x=1，x=m，x=0，x=n，x=-2，x=2，∴方程f(g(x))=0有7个根，即a=7;而方程g(f(x))=0f(x)=m或f(x)=0或f(x)=nf(x)=0x=-1，x=0，x=1，

∴方程g(f(x))=0有3个根，即b=3.∴a+b=10，

故选B.

10.当函数f(x)=有且只有一个零点时，a的取值范围是(　　)

A.a≤0B.01

答案　D

解析　∵f(1)=lg1=0，∴当x≤0时，函数f(x)没有零点，故-2x+a>0或-2x+a<0在(-∞，0]上恒成立，即a>2x，或a<2x在(-∞，0]上恒成立，故a>1或a≤0，故选D.

11.函数y=loga(x+3)-1 (a>0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+2=0上，其中m>0，n>0，则+的最小值为(　　)

A.2B.4

C.D.

答案　D

解析　由题意，得点A(-2，-1)，

故-2m-n+2=0，即2m+n=2，

∴+=+=++2+≥4+=，当且仅当m=n=时，等号成立.故选D.

12.设函数y=f(x)的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f(x1)+f(x2)=2b，则称点(a，b)为函数y=f(x)图象的对称中心.研究函数f(x)=x3+sinx+1的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到f(-2015)+f(-2014)+f(-2013)+…+f(2014)+f(2015)等于(　　)

A.0B.2014

C.4028D.4031

答案　D

解析　∵f(x)=x3+sinx+1，∴f′(x)=3x2+cosx，

f″(x)=6x-sinx，又∵f″(0)=0，

而f(x)+f(-x)=x3+sinx+1-x3-sinx+1=2，

函数f(x)=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为(0,1)，

即x1+x2=0时，总有f(x1)+f(x2)=2，

∴f(-2015)+f(-2014)+f(-2013)+…+f(2014)+f(2015)=2×2015+f(0)=4030+1

=4031.故选D.

13.已知函数f(x)=则f(f(-))=________;f(x)的最小值为________.

答案　1　0

解析　f(f(-))=f(log33)=f(1)=1+2-2=1.

当x≥1时，f(x)=x+-2≥2-2;

当x<1时，f(x)=log3(x2+1)≥0.

故f(x)的最小值为f(0)=0.

14.为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比;药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y=()t-a(a为常数)，如图所示.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室.则从药物释放开始，至少需要经过________小时后，学生才能回到教室.

答案　0.6

解析　当t=0.1时，可得1=()0.1-a，

∴0.1-a=0，a=0.1，由题意可得y≤0.25=，

即()t-0.1≤，即t-0.1≥，

解得t≥0.6，所以至少需要经过0.6小时后，学生才能回到教室.

15.已知函数f(x)的定义域为R，直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴，且f(0)=1，则f(4)+f(10)=________.

答案　2

解析　∵直线x=1和x=2是曲线y=f(x)的对称轴，

∴f(2-x)=f(x)，f(4-x)=f(x)，

∴f(2-x)=f(4-x)，∴y=f(x)的周期T=2，

∴f(4)+f(10)=f(0)+f(0)=2.

16.给定方程：()x+sinx-1=0，则下列命题中：

①该方程没有小于0的实数解;

②该方程有无数个实数解;

③该方程在(-∞，0)内有且只有一个实数解;

④若x0是该方程的实数解，则x0>-1.

正确的命题是________.

答案　②③④

解析　对于①，若α是方程()x+sinx-1=0的一个解，则满足()α=1-sinα，当α为第三、四象限角时，()α>1，此时α<0，因此该方程存在小于0的实数解，故①不正确;

对于②，原方程等价于()x-1=-sinx，

当x≥0时，-1<()x-1≤0，而函数y=-sinx的最小值为-1，且有无穷多个x满足-sinx=-1，

因此函数y=()x-1与y=-sinx的图象在[0，+∞)上有无穷多个交点，因此方程()x+sinx-1=0有无数个实数解，故②正确;

对于③，当x<0时，由于x≤-1时，()x-1≥1，

函数y=()x-1与y=-sinx的图象不可能有交点，

当-1-1，故④正确.

故答案为②③④.