1.已知函数y=xf′(x)的图象如下图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，下列四个图象中y=f(x)的图象大致是(　　)

答案　C

解析　由函数y=xf′(x)的图象可知：

当x<-1时，xf′(x)<0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增;

当-10，f′(x)<0，此时f(x)单调递减;

当01时，xf′(x)>0，f′(x)>0，此时f(x)单调递增.

故符合f(x)的图象为C.

2.定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f′(x)>1，f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3(其中e为自然对数的底数)的解集为(　　)

A.(0，+∞) B.(-∞，0)∪(3，+∞)

C.(-∞，0)∪(0，+∞) D.(3，+∞)

答案　A

解析　令g(x)=exf(x)-ex，

∴g′(x)=exf(x)+exf′(x)-ex

=ex[f(x)+f′(x)-1]，

∵f(x)+f′(x)>1，∴g′(x)>0，

∴y=g(x)在定义域上单调递增，

∵exf(x)>ex+3，∴g(x)>3，

∵g(0)=3，∴g(x)>g(0)，∴x>0，故选A.

3.不等式ex-x>ax的解集为P，且(0,2]P，则a的取值范围是(　　)

A.(-∞，e-1) B.(e-1，+∞)

C.(-∞，e+1) D.(e+1，+∞)

答案　A

解析　不等式ex-x>ax在(0,2]上恒成立，即a<(-1)min，x∈(0,2]，令y=-1，x∈(0,2]，则y′==0x=1，列表分析可得x=1时，y=-1取最小值e-1，从而a的取值范围是(-∞，e-1)，

故选A.

4.若函数f(x)=-lnx- (a>0，b>0)的图象在x=1处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是(　　)

A.4B.2

C.2D.

答案　D

解析　f(x)=-lnx- (a>0，b>0)，

所以f′(x)=-，则f′(1)=-为切线的斜率，

切点为(1，-)，

所以切线方程为y+=-(x-1)，

整理得ax+by+1=0.

因为切线与圆相切，所以=1，即a2+b2=1.

由基本不等式得a2+b2=1≥2ab，

所以(a+b)2=a2+b2+2ab=1+2ab≤2，

所以a+b≤，即a+b的最大值为.

5.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意的实数x都有f(x)≥0，则的取值范围是(　　)

A.[，+∞) B.[2，+∞)

C.[，+∞) D.[3，+∞)

答案　B

解析　由题意得，f′(x)=2ax+b，

∵f′(0)>0，∴b>0，

又∵x∈R，都有f(x)≥0，∴a>0，

∴Δ=b2-4ac≤0ac≥⇒≥⇒·≥，

∴c>0.∴==1++

≥1+2≥1+2=2，

当且仅当==a=c=b>0时，等号成立，

∴的取值范围是[2，+∞)，故选B.

6.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　)

A.1B.2

C.3D.4

答案　A

解析　f′(x)>0时，f(x)单调递增，f′(x)<0时，f(x)单调递减.f(x)的图象如图所示，显然f(x)在(a，b)内的极小值点只有一个.

7.已知定义域为R的奇函数y=f(x)的导函数为y=f′(x)，当x≠0时，xf′(x)-f(x)<0，若a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系正确的是(　　)

A.ae>ln2知<<，即c0.

∴不等式f(x)1恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A.[15，+∞) B.[6，+∞)

C.(-∞，15] D.(-∞，6]

答案　A

解析　>1

>0，

∴g(x)=f(x+1)-(x+1)在(0,1)内是增函数，

∴g′(x)>0在(0,1)内恒成立，

即-(2x+3)>0恒成立，

∴a>[(2x+3)(x+2)]max，

∵x∈(0,1)时，(2x+3)(x+2)<15，

∴实数a的取值范围为[15，+∞)，

故选A.

13.(+3)dx=______________.

答案　++6

解析　令y=，则(x-2)2+y2=4，

所以dx表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆在第一象限内1≤x≤3部分的面积，其面积为×4π+2××1×=π+.

所以(+3)dx

=()dx+3dx

=++(3x)|=++6.

14.(2016·课标全国丙)已知f(x)为偶函数，当x<0时，f(x)=ln(-x)+3x，则曲线y=f(x)在点(1，-3)处的切线方程是________.

答案　2x+y+1=0

解析　设x>0，则-x<0，f(-x)=lnx-3x，

又f(x)为偶函数，f(x)=lnx-3x，f′(x)=-3，

f′(1)=-2，切线方程为y=-2x-1，

即2x+y+1=0.

15.如图，阴影部分的面积是________.

答案

解析　联立直线y=2x与抛物线y=3-x2，解得交点为(-3，-6)和(1,2).设阴影部分面积为S，如图，

则S=(3-x2-2x)dx

=--x2+3x|

=(--1+3)-(9-9-9)

=.

16.设函数f(x)=ex，g(x)=lnx+m.有下列五个命题：

①若对任意x∈[1,2]，关于x的不等式f(x)>g(x)恒成立，则mg(x0)成立，则mg(x2)恒成立，则mg(x2)成立，则mg(x2)成立，则mg(x)恒成立，即f(x)-g(x)>0恒成立，令F(x)=f(x)-g(x)=ex-lnx-m，F′(x)=ex->0 (x∈[1,2])，只需F(1)=e-m>0，即mg(x0)成立，由①可知只需F(2)=e2-ln2-m>0，即mg(x2)恒成立，即f(x)min>g(x)max，即f(1)>g(2)，所以mg(x2)成立，则f(x)min>g(x)min，即f(1)>g(1)，所以mg(x2)成立，则f(x)max>g(x)min，即f(2)>g(1)，所以m