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2017年高考数学提分专项练习(七)

来源 :中华考试网 2016-12-27

12.已知数列{an}是公比大于1的等比数列,对任意的nN*,有an+1=a1+a2+…+an-1+an+.

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)设数列{bn}满足:bn=(log3 a1+log3 a2+…+log3 an+log3 t)(nN*),若{bn}为等差数列,求实数t的值及数列{bn}的通项公式.

解析:(1)解法一:设{an}的公比为q,

则由题设,得

由-,得a1q2-a1q=-a1+a1q,

即2a1q2-7a1q+3a1=0.

a1≠0, 2q2-7q+3=0,

解得q=(舍去)或q=3.

将q=3代入,得a1=1,

an=3n-1.

解法二:设{an}的公比为q,则由已知,得

a1qn=+a1qn-1+,

即a1qn=qn-+,

比较系数得

解得(舍去)或 an=3n-1.

(2)由(1),得

bn=(log3 30+log3 31+…+log3 3n-1+log3 t)

=[1+2+…+(n-1)+log3 t]

=

=+log3 t.

{bn}为等差数列,

bn+1-bn等于一个与n无关的常数,

而bn+1-bn=-+log3 t

=-log3 t,

log3 t=0, t=1,此时bn=.

13.已知数列{an}的前n项和Sn=-an-n-1+2(nN*),数列{bn}满足bn=2n·an.

(1)求证数列{bn}是等差数列,并求数列{an}的通项公式;

(2)设cn=log2,数列的前n项和为Tn,求满足Tn<(nN*)的n的最大值.

解析:(1)证明:在Sn=-an-n-1+2中,

令n=1,可得S1=-a1-1+2=a1,得a1=.

当n≥2时,Sn-1=-an-1-n-2+2,

an=Sn-Sn-1=-an+an-1+n-1,

即2an=an-1+n-1.

2n·an=2n-1·an-1+1.

bn=2n·an, bn=bn-1+1.

又b1=2a1=1, {bn}是以1为首项,1为公差的等差数列.

于是bn=1+(n-1)·1=n, an=.

(2) cn=log2=log22n=n,

==-.

Tn=++…+=1+--.

由Tn<,得1+--<,即+>,f(n)=+单调递减,

f(3)=,f(4)=,f(5)=,

n的最大值为4.

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