13.

已知直三棱柱ABC-A′B′C′满足BAC=90°，AB=AC=AA′=2，点M，N分别为A′B和B′C′的中点.

(1)证明：MN平面A′ACC′;

(2)求三棱锥C-MNB的体积.

命题立意：本题主要考查空间线面位置关系、三棱锥的体积等基础知识.意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

解析：(1)证明：如图，连接AB′，AC′，

四边形ABB′A′为矩形，M为A′B的中点，

AB′与A′B交于点M，且M为AB′的中点，又点N为B′C′的中点.

MN∥AC′.

又MN平面A′ACC′且AC′平面A′ACC′，

MN∥平面A′ACC′.

(2)由图可知VC-MNB=VM-BCN，

BAC=90°， BC==2，

又三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，且AA′=4，

S△BCN=×2×4=4.

A′B′=A′C′=2，BAC=90°，点N为B′C′的中点，

A′N⊥B′C′，A′N=.

又BB′⊥平面A′B′C′，

A′N⊥BB′，

A′N⊥平面BCN.

又M为A′B的中点，

M到平面BCN的距离为，

VC-MNB=VM-BCN=×4×=.

14.

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，ABDC，PAD是等边三角形，BD=2AD=8，AB=2DC=4.

(1)设M是PC上的一点，证明：平面MBD平面PAD;

(2)求四棱锥P-ABCD的体积.

命题立意：本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理与性质定理以及棱锥的体积的计算等，意在考查考生的逻辑推理能力与计算能力，考查化归与转化思想.

解析：(1)证明：在ABD中，因为AD=4，BD=8，AB=4，所以AD2+BD2=AB2.

故ADBD.

又平面PAD平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，BD平面ABCD，

所以BD平面PAD，

又BD平面MBD，

所以平面MBD平面PAD.

(2)过点P作OPAD交AD于点O，

因为平面PAD平面ABCD，

所以PO平面ABCD.

因此PO为四棱锥P-ABCD的高.

又PAD是边长为4的等边三角形，

所以PO=×4=2.

在四边形ABCD中，ABDC，AB=2DC，

所以四边形ABCD是梯形.

在Rt△ADB中，斜边AB上的高为=，此即为梯形ABCD的高.

所以四边形ABCD的面积S=×=24.

故四棱锥P-ABCD的体积VP-ABCD=×24×2=16.