函数的奇偶性

题组一

函数的奇偶性的判定

1.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是 (　　)

①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.

A.①③ B.②③

C.①④ D.②④

解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.

答案：D

2.已知二次函数f(x)=x2-ax+4，若f(x+1)是偶函数，则实数a的值为(　　)

A.-1 B.1 C.-2 D.2

解析：∵f(x)=x2-ax+4，

∴f(x+1)=(x+1)2-a(x+1)+4

=x2+2x+1-ax-a+4

=x2+(2-a)x+5-a，

f(1-x)=(1-x)2-a(1-x)+4

=x2-2x+1-a+ax+4

=x2+(a-2)x+5-a.

∵f(x+1)是偶函数，

∴f(x+1)=f(-x+1)，

∴a-2=2-a，即a=2.

答案：D

3.若函数f(x)=x2+(a∈R)，则下列结论正确的是 (　　)

A.?a∈R，f(x) 在(0，+∞)上是增函数

B.?a∈R，f(x)在(0，+∞)上是减函数

C.?a∈R，f(x)是偶函数

D.?a∈R，f(x)是奇函数

解析：当a=16时，f(x)=x2+，f′(x)=2x-，

令f′(x)>0得x>2.

∴f(x)在(2，+∞)上是增函数，故A、B错.

当a=0时，f(x)=x2是偶函数，故C正确.

D显然错误，故选C.

答案：C

题组二

函数奇偶性的应用

4.已知函数f (x)=ax4+bcosx-x，且f (-3)=7，则f (3)的值为 (　　)

A.1 B.-7 C.4 D.-10

解析：设g(x)=ax4+bcosx，则g(x)=g(-x).由f (-3)=g(-3)+3，得g(-3)=f(-3)-3=4，所以g(3)=g(-3)=4，所以f (3)=g(3)-3=4-3=1.

答案：A

5.已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x+4)=f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)=2x2，则f(7)=(　　)

A.-2 B.2 C.-98 D.98

解析：由f(x+4)=f(x)，得f(7)=f(3)=f(-1)，

又f(x)为奇函数，∴f(-1)=-f(1)，

f(1)=2×12=2，∴f(7)=-2.故选A.

答案：A

6.设函数f(x)(x∈R)为奇函数，f(1)=，f(x+2)=f(x)+f(2)，则f(5)= (　　)

A.0 B.1 C. D.5

解析：由f(1)=，

对f(x+2)=f(x)+f(2)，

令x=-1，

得f(1)=f(-1)+f(2).

又∵f(x) 为奇函数，∴f(-1)=-f(1).

于是f(2)=2f(1)=1;

令x=1，得f(3)=f(1)+f(2)=，

于是f(5)=f(3)+f(2)=.

答案：C