7.已知函数f(x)是定义在(-∞，0)∪(0，+∞)上的偶函数，在(0，+∞)上单调递减，且f()>0>f(-)，则方程f(x)=0的根的个数为 (　　)

A.0 B.1 C.2 D.3

解析：由于函数是偶函数，且在(0，+∞)上单调递减，因此在(-∞，0)上单调递增，又因为f()>0>f(-)=f()，所以函数f(x)在(，)上与x轴有一个交点，必在(-，-)上也有一个交点，故方程f(x)=0的根的个数为2.

答案：C

8.定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)=2008x+log2008x，则方程f(x)=0的实根的个数为　　　　.

解析：当x>0时，f(x)=0即2008x=-log2008x，在同一坐标系下分别画出函数f1(x)=2008x，f2(x)=-log2008x的图象(图略)，可知两个图象只有一个交点，即方程f(x)=0只有一个实根，又因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以当x<0时，方程f(x)=0也有一个实根，又因为f(0)=0，所以方程f(x)=0的实根的个数为3.

答案：3

题组三

函数的奇偶性与单调性的综合问题

9.定义在R上的偶函数f(x)，对任意x1，x2∈ 上是增函数.若方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1，x2，x3，x4， 则x1+x2+x3+x4=　　　　.

解析：由f(x-4)=-f(x)?f(4-x)=f(x)，

故函数图象关于直线x=2对称，

又函数f(x)在上是增函数，且为奇函数，

故f(0)=0，故函数f(x)在(0,2]上大于0，

根据对称性知函数f(x)在上单调递增，求实数a的取值范围.

解：(1)设x<0，则-x>0，

所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.

又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)，

于是x<0时，f(x)=x2+2x=x2+mx，

所以m=2.

(2)要使f(x)在上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1

(理)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数.

(1)求a、b的值;

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立，求k的取值范围.

解：(1)因为f(x)是R上的奇函数，所以f(0)=0，

即=0，解得b=1，从而有f(x)=.

又由f(1)=-f(-1)，知=-，解得a=2.

故a=2，b=1.

(2)由(1)知f(x)==-+.

由上式易知f(x)在(-∞，+∞)上为减函数.

又因f(x)是奇函数，

从而不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0

等价于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(-2t2+k).

因f(x)是减函数，由上式推得t2-2t>-2t2+k，

即对一切t∈R有3t2-2t-k>0.

从而判别式Δ=4+12k<0，解得k<-.