题组三函数零点的应用

7.若二次函数y=ax2+bx+c中a·c<0，则函数的零点个数是 (　　)

A.1个 B.2个 C.0个 D.不确定

解析：∵c=f(0)，∴ac=a·f(0)<0. ∴a与f(0)异号，即

∴函数必有两个零点.

答案：B

8.已知函数f(x)=x|x-4|-5，则当方程f(x)=a有三个根时，实数a的取值范围是　　　　.

A.-5-1

解析：f(x)=x|x-4|-5=

在平面直角坐标系中画出该函数的图象(图略)，可得当直线y=a与该函数的图象有三个交点时，a的取值范围是-5　　答案：A

9.(2009·山东高考)若函数f(x)=ax-x-a(a>0，且a≠1)有两个零点，则实数a的取值范围是　　　　.

解析：函数f(x)的零点的个数就是函数y=ax与函数y=x+a交点的个数，由函数的图象可知a>1时两函数图象有两个交点，01.

答案：(1，+∞)

10.已知关于x的二次函数f(x)=x2+(2t-1)x+1-2t.

(1)求证：对于任意t∈R，方程f(x)=1必有实数根;

(2)若2(1)

解：(1)证明：由f(1)=1知f(x)=1必有实数根.

(2)当2(1)0，

f(0)=1-2t=2(2(1)-t)<0，

f(2(1))=4(1)+2(1)(2t-1)+1-2t=4(3)-t>0，

所以方程f(x)=0在区间(-1,0)及(0，2(1))内各有一个实数根.

11.已知a是实数，函数f(x)=2ax2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间上有零点，求a的取值范围.

解：若a=0，则f(x)=2x-3显然在上没有零点，所以a≠0.

令Δ=4+8a(3+a)=8a2+24a+4=0，解得a=2(7).

①当a=2(7)时，y=f(x)恰有一个零点在上;而a=2(7)时，经检验不

符合要求.

②当f(-1)·f(1)=(a-1)(a-5)≤0时，得1≤a≤5，因当a=5时，方程f(x)=0在 上有两个相异实根，故1≤a<5时，y=f(x)在上恰有一个零点;

③当y=f(x)在上有两个零点时，则

解得a≥5或a<2(7).

综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a≤2(7)}.