第三节 资金等效值与复利计算

　　一、资金等效值的概念

　　资金等效值是指在考虑时间因素的情况下，不同时点发生的绝对值不等的资金可能具有相同的价值。即：与某一时间点上一定金额的实际经济价值相等的另一时间点上的价值。

　　我们把等效值简称为等值。通常情况下，在资金等效值计算的过程中，人们把资金运动起点时的金额称为现值，把资金运动结束时与现值等值的金额称为终值或未来值，而把资金运动过程中某一时间点上与现值等值的金额称为时值。

　　二、复利计算

　　㈠符号

　　在复利计算和考虑资金时间因素的计算中，常用的符号包括P、F、A、G、s、n和i等，各符号的具体含义是：

　　P— 现值; F— 终值(未来值);

　　A— 连续出现在各计息周期期末的等额支付金额，简称年值;

　　G— 每一时间间隔收入或支出的等差变化值;

　　s— 每一时间间隔收入或支出的等比变化值;

　　n— 计息周期数; i— 每个计息周期的利率。

　　在复利计算和考虑资金时间因素计算中，通常都要使用i和n，以及P、F和A中的两项。比较不同投资方案经济效果时，常换算成P值或A值，也可换算成F值来进行比较。

　　㈡公式与系数

　　主要方法：提炼法、梳理法、形象理解记忆法、数字概况记忆法

　　主要内容：①六种基本换算②四种递变换算③计算公式的五个前提条件④三种常见题型分析⑤五步解题思路与方法

　　1、六种基本换算(2+3+6+6)三个值-两个因素-六种换算关系-六个系数

　　三个值：P：现值(资金运动起点时的金额)

　　F：终值(资金运动结束时与现值等值的金额)

　　A：年值(连续出现在各计息周期期末的等额支付金额)

　　两个因素：利率i 计息期n

　　六种基本换算：1、现值换算为终值：P～F 2、终值换算为现值：F～P

　　3、年值换算为终值：A～F 4、终值换算为年值：F～A

　　5、年值换算为现值：A～P 6、现值换算为年值：P～A

　　1.一次支付的终值系数

　　如果在时间点t=0时的资金现值为P，并且利率i已定，则复利计息的n个计息周期后的终值F计算公式为： F=P(1+i)n

　　上式中的(1+i)n称为“一次支付终值系数”。

　　计算公式为： F=P(1+i)n 终值公式：F=P( F / P，i，n )

　　形象记忆：【存款】一次存钱，到期本利和合计多少

　　系数名称：一次支付终值系数(F / P，i，n)

　　【典型例题】某房地产开发商向金融机构贷款500万元，按复利计息，年利率为12%。若第五年末一次还本付息，应偿还多少万元?

　　2.一次支付的现值系数

　　当已知终值 F 和利率 i 时，很容易得到复利计息条件下现值P的计算公式：

　　P=F[1/ (1+i)n] P=F( P / F，i，n )

　　上式中的1/ (1+i)n 称为“一次支付现值系数”。

计算公式： P=F( P / F，i，n )

　　形象记忆：【存款】已知到期本利和数，求最初本金。

　　系数名称：一次支付现值系数 (P / F，i，n)

　　【典型例题】将一笔资金按年利率为6%存入银行，以复利计息，要在五年后本利和为100万元，则现在应存款多少元?

　　3. 等额序列支付的现值系数

　　等额序列支付是指在现金流量图上的每一个计息周期期末都有一个等额支付金额A。此时，其现值可以这样确定：把每一个A看作是一次支付中的F，用一次支付复利计算公式求其现值，然后相加，即可得到所求的现值。P=A ( P / A，i，n )

式中的 称为“等额序列支付现值系数”。

　　形象记忆：【存款、养老保险】已知最后要取出一笔钱，年应等额存入多少钱。

　　系数名称：等额序列支付现值系数( P / A，i，n )

　　【特例】永续年值(n-∞)

P=A/i

　　【典型例题】某家庭欲购买总价为25万元的一套住宅。该家庭月收入为6000元，准备用收入的30%来支付抵押贷款月还款额。已知贷款期限为10年，年贷款利率为6%，则该家庭的首付款额是( )元? A.3400.00 B.83265.38 C.87867.78 D.91022.12

　　4.等额序列支付资金回收系数

由上式可以得到当现值P和利率i为已知时，求复利计息的等额序列支付年值A的计算公式： A=P(A / P，i，n) 式中的 称为“等额序列支付资金回收系数”。

　　■系数名称

　　○等额序列支付资金回收系数(A/P,I,n)

　　5.等额序列支付终值系数

　　等额序列支付的终值系数和储存基金系数就是在已知F的情况下求A，或在已知A的情况下求F。因为前面已经有了P和A之间的关系，我们也已经知道了P和F之间的关系，所以很容易就可以推导出F和A之间的关系。

计算公式：

　　形象记忆：【等额零存整取】年青时定期期等额支付养老金，到一定年龄一次性取出，问一次性可取多少钱。

　　系数名称：等额序列支付终值系数(F/A,i,n)

　　【典型例题】若每年年末存入银行10万元，年利率为6%，则五年后的复本利和为多少元?

　　6.等额序列支付储存基金系数

计算公式：

　　形象记忆：【存款、养老保险】已知最后要取出一笔钱，年应等额存入多少钱。

系数名称：等额序列支付储存基金系数(A/F,i,n)

　　【典型例题】计划每年年末存入银行等额数额的资金(等额零存)，欲在7年后整取为1000元，若存款利率为8%，则每年年末存入金额为多少元?

　　7.等差序列的现值系数

　　等差序列是一种等额增加或减少的现金流量序列。这种现金流量序列的收入或支出每年以相同的数量发生变化。例如物业维修费用往往随着房屋及其附属设备的陈旧程度而逐年增加，物业租金收入通常随着房地产市场的发展逐年增加等。逐年增加的收入或费用，虽然不能严格地按线性规律变化，但可根据多年资料，整理成等差序列以简化计算。

　　如果G表示收入或支出的年等差变化值，第一年的现金收入或支出的流量A1已知，则第 n 年年末现金收入或支出的流量为 A1+(n-1)G 。计算等差序列现值系数的公式为：

上式中的 称为“等差序列现值系数”。

　　8.等差序列年费用系数A=A1 +G(A/G，i，n)

　　若要将等差现金流量序列换算成等额年值A，则公式为：

上式中的 称为“等差序列年费用系数”。

　　9.等比序列的现值系数

　　等比序列是一种等比例增加或减少的现金流量序列。即这种现金流量序列的收入或支出每年以一个固定的比例发生变化。例如建筑物的建造成本每年以l0%的比例逐年增加、房地产的价格或租金水平每年以5%的速度逐年增加等。

　　若以等比系数表示收入或支出每年变化的百分率，第一年的现金收入或支出的流量A1已知，则第n年年末现金收入或支出的流量为A1(1+s)n-1，

　　计算等比序列现值系数的公式为：

上式中的 称为“等比序列现值系数”。

　　10. 等比序列年费用系数(A/s，i，n)

　　若要将等比现金流量序列换算成等额年值A，则公式为：

A=s (A/s，i，n) 上式中的 称为“等比序列年费用系数”。

　　㈢复利系数的标准表示法

　　为了减少书写上述复利系数时的麻烦，可采用一种标准表示法来表示各种系数。这种标准表示法的一般形式为(X/Y，i，n)。X表示所求的是什么，Y表示已知的是什么。例如F/P表示“已知P求F”，而(F/P，10%，25)表示一个系数。这个系数若与现值P相乘，便可求得按年利率为10%复利计息时25年后的终值F。

　　三、复利系数的应用

　　复利系数在房地产投资分析与评估中的应用非常普遍，尤其是在房地产抵押贷款、房地产开发项目融资活动中，经常涉及到利息计算、月还款额计算等问题。下面通过例题，来介绍一下复利系数在房地产投资分析中的应用情况。

　　【例5-1】已知某笔贷款的年利率为15%，借贷双方约定按季度计息，问该笔贷款的实际利率是多少?

　　【解】已知：r=15%，m=12/3=4，则该笔贷款的实际利率

　　i=(1+r/m)m-1=(1+15%/4)4-1=15.87%

　　【解析】本题考查：名义利率与实际利率的关系。

　　【例5-2】某房地产开发商向银行贷款2 000万元，期限为3年，年利率为8%，若该笔贷款的还款方式为期间按季度付息、到期后一次偿还本金，则开发商为该笔贷款支付的利息总额是多少? 如果计算先期支付利息的时间价值，则贷款到期后开发商实际支付的利息又是多少?

　　【解】已知：P=2000万元，n=3×4=12，i=8%/4=2%，则

　　开发商为该笔贷款支付的利息总额=P×i×n=2 000×2%×12=480 (万元)

　　计算先期支付利息的时间价值，则到期后开发商实际支付的利息=P[(1+i)n-1]=2000[(1+2%)12-1]=536.48(万元)

　　【解析】此题考查单利与复利关系，关键是要掌握单利与复利的概念，分清两者的区别与联系。

　　【例5-3】某家庭预计在今后10年内的月收入为16 000元，如果其中的30% 可用于支付住房抵押贷款的月还款额，年贷款利率为12% ，问该家庭有偿还能力的最大抵押贷款申请额是多少?

　　【解】(1)已知：该家庭每月可用于支付抵押贷款的月还款额A=16000×30%=0.48(万元);月贷款利率i=12%/12=1%，计息周期数n=10×12=120个月;

　　(2)则该家庭有偿还能力的最大抵押贷款额

　　【例5-4】某家庭以抵押贷款的方式购买了一套价值为25万元的住宅，如果该家庭首付款为房价的30%，其余房款用抵押贷款支付。如果抵押贷款的期限为10年，按月等额偿还，年贷款利率为15%，问月还款额为多少? 如果该家庭25%的收入可以用来支付抵押贷款月还款额，问该家庭须月收入多少，才能购买上述住宅?

　　【解】(1)已知：抵押贷款额P=25×70%=17.5(万元)，月贷款利率I=15%/12=1.25%，计息周期数n=10×12=120个月

　　(2)则月还款额：

　　(3)该家庭欲购买上述住宅，其月收入须为2823.4/0.25=11293.4(元)

　　【例5-5】某购房者拟向银行申请60万元的住房抵押贷款，银行根据购房者未来收入增长的情况，为他安排了等比递增还款抵押贷款。若年抵押贷款利率为6 .6%，期限为15年，购房者的月还款额增长率为0.5%，问该购房者第10年最后一个月份的月还款额是多少?

　　【解】(1)已知：P=60万元，n=15×12=180(月)，i=6.6%/12=0.55%，s=0.5%

　　(2)抵押贷款首次月还款额：

　　(3)第10年最后一个月份的还款额A120为

　　A120=A1×(1+s)t-1=3504.67×(1+0.5%)120-1=6344.50 (元)

　　【例5-6】某家庭预购买一套面积为80m2的经济适用住宅，单价为3500元/m2，首付款为房价的25%，其余申请公积金和商业组合抵押贷款。巳知公积金和商业贷款的利率分别为4.2%和6.6%，期限均为15年，公积金贷款的最高限额为10万元。问该家庭申请组合抵押贷款后的最低月还款额是多少?

　　【解】(1)已知：P=3500×80×(1-25%)=21(万元)，n=15×12=180(月)

　　i1=4.2%/12=0.35%，i2=6.6%/12=0.55%

　　P1=10(万元)，P2=P-P1=21-10=11(万元)

　　(2)计算等额偿还公积金贷款和商业贷款的月还款额：

　　(3)组合贷款的最低月还款额 A=A1+A2=749.75+964.28=1714.03(元)

　　【例5-7】某家庭以4000元/平方米的价格，购买了一套建筑面积为120平方米的住宅，银行为其提供了15年期的住房抵押贷款，该贷款的年利率为6%，抵押贷款价值比率为70%。如该家庭在按月等额还款5年后，于第6年初一次提前偿还了贷款本金8万元，问从第6年开始的抵押贷款月还款额是多少?

　　【解】(1)已知：P=4000×120×70%=33.6(万元)，P1 =8(万元)，n=15×12=180月

　　n1= (15-5)×12=120个月;i=i1 =6%/12=0.5%

　　(2)则正常情况下抵押贷款的月还款额：

　　(3)第6年年初一次性偿还本金8万元后，在第6到15年内内减少的月还款额为：

　　(3)从第6年开始的抵押贷款月还款额是： A-A1=2835.36-888.16=1947.20(元)

　　【例5-8】某家庭以3500元/m2的价格，购买了一套建筑面积为80m2的住宅，银行为其提供了15年期的住房抵押贷款，该贷款的年利率为6%，抵押贷款价值比率为70%;月等额还款金额占借款总额的比例即月还款常数为0.65%。问抵押贷款到期后，该家庭应向银行偿还的剩余本金金额是多少?

　　【解】(1)已知：P=3500×80×70%=19.6(万元)，月还款常数α=0.65%

　　n=15×12=180(月)，i= i1=6%/12=0.5%

　　(2)则月等额偿还抵押贷款本息的月还款额为：

　　(3)实际每月的月还额为： 196000×0.65%=1274 (元)

　　(4)借款人每月欠还的本金： 1653.96-1274=379.96 (元)

　　(5)抵押贷款到期后，该家庭向银行偿还的剩余本金为：

　　【例5-9】某人拟以500万元的价格购入一预售楼盘的部分写字楼面积用于出租经营。已知前三年楼价款付款比例分别为15%、25%和60%，第四年即可开始出租，当年的毛租金收入为100 万元，经营成本为20万元，且预计在此后的16年内毛租金收入和经营成本的平均上涨卒均为12%，贴现率为16%。如果本写字楼投资项目在整个经营期间内的其他收入和支出情况如下表所示，试计算该投资项目的净现金流量，画出净现金流量图并计算出项目净现金流量的现值之和(设投资和经营期间的收支均发生在年初)。P145

　　【解】(1)求出现金流量。(略)

年 末	0	1	2	3	4	t	18	19
现金流入				100	100(1+12%)1	100(1+12%)t-3	100(1+12%)15	1600+100(1+12%)16
现金流出	75	125	300	80	20(1+12%)1	20(1+12%)t-3	20(1+12%)15	150+200+20(1+12%)16
净现金流量	-75	-125	-300	20	80(1+12%)1	80(1+12%)t-3	80(1+12%)15	1250+80(1+12%)16

　　(2)画出净现金流量图。(略)P153

　　(3)计算项目净现金流量的现值之和P

　　【例5-10】已知某家庭1998年12月31日为购买价值为50万元的住宅，申请了相当于房价80%的住房抵押贷款，期限为20年、年利率为6%、按月等额还本付息。2004年1月1日，该家庭由于某种财务需要拟申请二次住房抵押贷款(又称“加按”，假设按产权人拥有的权益价值的50%发放)。已知当地住宅价值年上涨率为 5%，问该家庭申请加按时，最多能得到多少抵押贷款?

　　【解】⑴2004年1月1日该住房市场价值

　　V=500000×(1+5%)5=638140.8 元

　　⑵第一次抵押贷款月还款额

　　⑶2004年1月1日未偿还第一抵押贷款价值

　　⑷该家庭拥有的住房权益价值

　　VE=V-VM=638140.8-297147.6=340993.2 元

　　⑸第二次抵押可获得的最大抵押贷款数额为

　　340993.2×50%=170496.6元≈17万元

　　【例5-11】假设某家庭于2004年为购买总价为22万美元的住房，成功申请了总额为18万美元、期限为30年、前3年固定利率为7.5%的复合式可调整利率贷款。如该家庭2004年和2007年的月家庭收入分别为3000美元和3200美元，2007年调整后的利率为9%，问该家庭在2004年和2007年前6个月的月还款额占家庭收入的比例分别是多少?

　　【解】⑴前3年执行固定利率期间的月还款额: A=P×i=180 000×7.5%/12=1125(美元)

　　⑵前3年执行固定利率期间的月还款额占家庭收入的比例: 1125/3000×100%=37.5%

　　⑶2007年初调整利率后: i1=9%/12=0.75% n1=(30-3)×12=324(月)

　　⑷2007年初调整利率后的月还款额

　　⑸2007年初调整利率后的月还款额占家庭收入的比例:1481.2/3200×100%=46.3%

　　【例5-12】某家庭拟购买一套新房，并将原有住房出租。预计原有住房的净租金收入为每月2000元，资本化率为9.6%，假设租金和住房市场价值不随时间发生变化。该家庭希望实现以租养房，即每月的抵押贷款还款额不超过原有住房的租金收入。购买新房的最低首付款为房价的30%，余款申请年利率为6%的住房抵押贷款，按月等额还款，最长贷款年限为20年。问：

　　⑴该家庭能够购买最高总价为多少万元的新房(精确到小数点后2位)?

　　⑵设该家庭购买了这一最高总价的新房，并希望在还款一段时间之后，利用出售原有住房的收入一次性提前还清抵押贷款，问至少需要在还款多少个月(取整)后，再出售原有住房并还清贷款?(8分)

　　【解】已知：A=2000元，n=240个月，i=6%/12=0.5%，R=9.6%

　　⑴求购房最高总价

　　购房最高总价=P/70%=279161.54/70%=39.88万元

　　⑵求出售原有住房时间

　　住房市场价值V=A×12/R=2000×12/9.6%=25万元

　　设剩余M个月需要偿还25万元，则有

　　有：(1+0.5%)M=2.667　M=log2.667/(1+0.5%)=196.66个月 240-196=44个月

　　在还款44个月之后出售住房