应用题

1.某商店以每条100元的价格购进一批牛仔裤，已知市场的需求函数为Q=400－2P，问怎样选择牛仔裤的售价P(元/条)，可使所获利润最大，最大利润是多少。

2.设抛物线y²=2x与该曲线在处的法线所围成的平面图形为D，求D的面积。

五、证明题(4分)

证明：xln。

填空题(每小题2分，共20分)

1. e^－2

2. 1

3. f′(0)

4.

5.

6. arcsinlnx+C

7. 0

8.

9. 3

10. C₁+C₂e^－2x

   计算题(每小题5分，共30分)

1.解：原式=

=

2.解：y′=

=

=

=

3.解1:

令x=sint   t∈

则，原式==

=。

解2:

=

=。

4.解：齐次方程+2xy=0的解为y=。

由常数变异法，令y=代入方程，得：

，

因此，C(x)=  

所以,y=

代入初值条件：=2得C₀=

所以，y=

5.解：两边关于x求偏导

所以

两边关于y求偏导

所以。因此：

dz=。

6.解：e^x=

所以

所以。

令x=1，则：

    应用题(每小题8分，共16分)

1.解：由题意，利润函数为

L(p)=pQ－100Q=－2p²+600p－40000,

求导数 =－4p+600,

令=0，解得p=150,

由于=－4<0,因此在p=150处L取得极大值。

代入利润函数得，极大值为L(150)=5000。

由于最大利润必存在且函数仅有一个极值，因此该极大值必为最大值。即选择牛仔裤的售价为150(元/条)时利润最大，利润为5000元。

2.解：曲线在(，1)处的法线斜率为：

因此，法线方程为：y=－x+

解得法线与曲线另一个交点为(，－3)。

由于。

因此，D的面积为：

 。

 证明题(4分)

解：令  F(x)=xln(x+)－+1。    则  F′(x)=ln(x+)>0,(x>0)

所以，当x0时，F(x)是严格递增函数

因此，当x>0时，F(x)>F(0)=0

即  xln(x+)>,(x>0)。