自学考试《运筹学基础》章节习题及答案：第5章

　　第五章作业 线性规划P92

　　1.线性规划的定义：线性规划是求一组变量的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解，使决策目标达到最优。

　　2.阐述线性规划的模型结构：(答案在书上68页)

　　·(1)变量是指实际系统或决策问题中有待确定的未知因素，也是指系统中的可控因素，一般来说，这些因素对系统目标的实现及各项经济指标的完成起决定作用，又称为决策变量。

　　·(2)目标函数是决策者对决策问题目标的数学描述是一个极值问题，即极大值或极小值。要依据经济规律的客观要求，并具体结合决策问题的实际情况来确定模型的目标函数。

　　(3)·约束条件是指实现目标的限制因素，反映到模型中就是需要满足的基本条件即约束方程，一般是一组联立方程组或不等式方程组的数学形式。

　　约束条件具有三种基本类型 ：大于或等于;等于;小于或等于。

　　(4)·线性规划的变量应为正值。

　　线性规划明确定义:线性规划是求一组变量X1,X2,X3…的值，在满足一组约束条件下，求得目标函数的最优解(最大值或最小值)问题。

　　3、解：本题是求解最大值的问题，和书上的例题5-3类似。

　　首先拟定线性规划模型

　　1)设定变量：

　　设该电车本周生产甲车x辆，乙车y辆，丙车z辆。

　　2)建立目标函数，求利润S 的最大值：

　　maxS=270x+400y+450z

　　3) 根据约束条件建立约束方程组：

　　x+2y+3z <=100

　　2x+2y+3z <=120

　　4) 变量非负：

　　x,y,z >=0

　　建立初始单纯形表：

　　1) 引入松弛变量

　　x+2y+3z +k1=100

　　2x+2y+3z +k2=120

　　2)目标函数：maxS=270x+400y+450z+0*k1+0*k2

　　3)变量非负

　　4)建立初始单纯形表

　　Cj 270 400 450 0 0 S

　　基 x y z k1 k2

　　———————————————————————————

　　0 k1 1 2 3 1 0 100

　　0 k2 2 2 3 0 1 120

　　———————————————————————————

　　Zj 0 0 0 0 0 0

　　Cj-Zj 270 400 450 0 0 S

　　分析上面的初始表，变量系数最大的是z

　　k1所在行：100/3

　　k2所在行：120/3=40

　　所以选定 k1出基

　　进行第一次迭代，得到如下单纯形表

　　Cj 270 400 450 0 0 S

　　基 x y z k1 k2

　　———————————————————————————

　　450 z 1/3 2/3 1 1/3 0 100/3

　　0 k2 1 0 0 -1 1 20

　　———————————————————————————

　　Zj 150 300 450 150 0 15000

　　Cj-Zj 80 100 0 -150 0 S-15000

　　变量系数最大的是y,所以选择y作为基变量。

　　z所在行：450/(2/3)=675

　　k2所在行：20/1=20

　　所以选定 k2出基

　　进行第二次迭代，得到如下单纯形表

　　Cj 270 400 450 0 0 S

　　基 x y z k1 k2

　　———————————————————————————

　　450 z 0 2/3 1 2/3 -1/3 80/3

　　270 x 1 0 0 -1 1 20

　　———————————————————————————

　　Zj 270 300 450 30 120 17400

　　Cj-Zj 0 100 0 -30 -120 S-17400

　　量系数最大的是y且是正数,所以选择y作为基变量。

　　y所在行：(80/3)/(2/3)=40

　　x所在行：20/0 =+∞

　　+∞>40，所以z出基 (小于零的和除以0的应该不算)

　　进行第三次迭代，得到如下单纯形表

　　Cj 270 400 450 0 0 S

　　基 x y z k1 k2

　　———————————————————————————

　　400 y 0 1 3/2 3/2 -1/2 40

　　270 x 1 0 0 -1 1 20

　　———————————————————————————

　　Zj 270 400 600 330 70 21400

　　Cj-Zj 0 0 -150 -330 -70 S-21400

　　因为所有的系数都小于0,所以得到最优解。

　　S=21400-150z-330k1-70k2

　　当k1=k2=0时可得x=20,y=40

　　所以该厂本周的产品组合应该为生产甲车20辆，乙车40辆

　　4、解：MIN S=1.5X-2.5Y+18.5

　　则S’=1.5X-2.5Y

　　约束条件：X-Y-S1+A=1/4

　　x-Y+S2=1/2

　　X+Y+S3=1

　　X+S4 =1

　　Y+S5 =1

　　标准型：MIN S’=1.5X-2.5Y+0S1+MA+0S2+0S3+0S4+0S5

　　建立初始单纯行表：

　　Cj 2/3 -2/5 0 M 0 0 0 0

　　基 x y S1 A S2 S3 S4 S5 S

　　------------------------------------------------------------

　　M A 1 -1 -1 1 0 0 0 0 1/4

　　0 S2 1 -1 0 0 1 0 0 0 1/2

　　0 S3 1 -1 0 0 1 1 0 0 1

　　0 S4 1 0 0 0 0 0 1 0 1

　　0 S5 0 1 0 0 0 0 0 1 1

　　--------------------------------------------------------------

　　ZJ M -M -M M 0 0 0 0 1/4M

　　cj-zj 2/3-M -2/5+M M 0 0 0 0 0 s’-1/4m

　　分析上面的初始表，变量系数最小的是x，所以选择x作为基变量。

　　s/x 最小的是A

　　所以选定 A出基

　　进行第一次迭代，得到如下单纯形表：

　　Cj 2/3 -2/5 0 M 0 0 0 0

　　基 x y S1 A S2 S3 S4 S5 S

　　------------------------------------------------------------

　　2/3 X 1 -1 -1 1 0 0 0 0 1/4

　　0 S2 0 0 1 -1 1 0 0 0 1/4

　　0 S3 0 2 1 -1 0 1 0 0 3/4

　　0 S4 0 1 1 -1 0 0 1 0 3/4

　　0 S5 0 1 0 0 0 0 0 1 1

　　--------------------------------------------------------------

　　ZJ 2/3 -2/3 -2/3 2/3 0 0 0 0 3/8

　　cj-zj 0 -1 2/3 M-2/3 0 0 0 0 s’-3/8

　　分析上面的初始表，变量系数最小的是Y，所以选择Y作为基变量。

s/x 最小的是S3(在这注意了S/Y Y必须是大于0的数，因此1/4*(—1)=-/4就不算，还有除以0的也不算。因此应该是S3出基)

　　所以选定 S3出基

　　进行第二次迭代，得到如下单纯形表：

　　Cj 2/3 -2/5 0 M 0 0 0 0

　　基 x y S1 A S2 S3 S4 S5 S

　　------------------------------------------------------------

　　2/3 X 1 0 -1/2 1/2 0 1/2 0 0 5/8

　　0 S2 0 0 1 -1 1 0 0 0 1/4

　　-2/5 Y 0 1 1/2 -1/2 0 1/2 0 0 3/8

　　0 S4 0 0 1/2 -1/2 0 -1/2 1 0 3/8

　　0 S5 0 0 -1/2 1/2 0 -1/2 0 1 5/8

　　--------------------------------------------------------------

　　ZJ 2/3 -2/5 -2 2 0 -1/2 0 0 0

　　cj-zj 0 0 2 M-2 0 1/2 0 0 s’

　　此时S’=2S1+(M-2)A+1/2S3

　　上式中X,Y,S1，A,S2,S3,S4,S5的数值均为正数。这就表明若我们给S1，A，S3以任何正数，都将使目标函数增大，因而只有当S1，A，S3 全为0时，才能求得目标函数的最小值。

　　即：S’=0

　　则最优解S=S’+18.5=18.5

　　此时 X=0.625

　　Y=0.375