数学科

　　一、考试依据

　　1. 中华人民共和国教育部2011年颁发的《全日制义务教育数学课程标准(2011年版)》(以下简称《标准》).

　　2. 现行北师大版教材和佛山市初中数学学科的教学实际.

　　二、考试内容与考核要求

　　考试内容根据《标准》制定，关注初中数学体系中基础和核心的内容.

　　1.考试关注课程的基本理念(见《标准》第2～3页).

　　2.考试关注课程的总目标和学段目标(见《标准》第8～10页和第13～15页》).

　　3.考试关注课程的学段教学中的基础和核心知识.

　　试题所涉及的知识和技能如下：

　　(一) 数与代数

　　数与式

　　1.有理数

　　理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小;

　　借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母)，知道|a|的含义(这里a表示有理数);

　　理解乘方的意义，理解有理数的加、减、乘、除的运算法则，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算;

　　理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算;

　　能运用有理数的运算解决简单的问题.

　　2.实数

　　了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、算术平方根、立方根;

　　了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根;

　　了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，能求实数的相反数与绝对值;

　　能用有理数估计一个无理数的大致范围;

　　了解近似数的概念;

　　在解决实际问题中，能进行简单的近似计算，并按问题的要求对结果取近似值;

　　了解二次根式、最简二次根式、三次根式的概念;知道二次根式和有理数的基本构造式(如 )，会求它们的倒数、相反数和绝对值，了解二次根式(根号下仅限于数)的加、减、乘、除运算法则，会对它们进行简单的四则运算(分母有理化限 、 等类).

　　3.代数式

　　理解字母表示数的意义;了解代数式的概念;

　　能分析简单问题中的数量关系，并用代数式表示;

　　能确定简单的代数式(含有理式和无理式)的自变量的取值范围;

　　会求代数式的相反数(式);

　　会求代数式的值.

　　4.整式与分式

　　了解整数指数幂的意义和基本性质;

　　会用科学记数法表示数.

　　了解整式及其相关概念，掌握合并同类项和去括号法则，能进行简单的整式的加、减运算;能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘或一次式乘以二次式);

　　会推导乘法公式 和 ，了解公式的几何背景，并能用它们进行简单的计算;

　　会用提公因式法、公式法(直接用公式一般不超过两次)进行因式分解(指数是正整数);

　　了解分式和最简单分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，能进行简单的分式的加、减、乘、除(含简单的单项式或多项式除以单项式或多项式的除法运算)运算.

　　方程与不等式

　　1. 方程与方程组

　　能够根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程模型;

　　经历估计方程解的过程;

　　掌握等式的基本性质;

　　掌握代入消元法和加减消元法;

　　能解一元一次方程、简单的二元一次方程组和三元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程(方程中的系数均为常数);

　　理解配方法;

　　能用配方法、公式法和因式分解法解简单的数字系数的一元二次方程;

　　会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等;

　　了解一元二次方程的根与系数的关系;

　　能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理.

　　2.不等式与不等式组

　　了解不等式(不等号限≥、≤、>、<、≠、≈，后两个仅为表示两个简单数量关系的符号)的意义，理解不等式的基本性质;

　　能解一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集;

　　会用数轴确定由两个数字系数的一元一次不等式组成的不等式组(含简单连续不等式，如 )的解集;

　　能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式、一元一次不等式组，解决简单的问题.

　　函数

　　1.函数

　　了解常量、变量的意义;

　　了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例;

　　能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析;

　　能确定简单实际问题中函数(现有的函数)及自变量的取值范围，并会求函数的值;

　　能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系;

　　结合对函数关系的分析，尝试对变量的变化规律进行初步讨论.

　　2.一次函数

　　理解一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数表达式(含待定系数法);

　　会画一次函数的图象，能根据一次函数的图象和表达式 探索并理解 和 时图象的变化情况;

　　理解正比例函数;

　　体会一次函数与二元一次方程的关系，会用一次函数的图象求二元一次方程组的近似解(转化、画图、观察猜想、验证);

　　能用一次函数(函数模型之一)解决实际问题.

　　3.反比例函数

　　理解反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数表达式(含待定系数法);

　　会画反比例函数的图象，能根据图象和解析表达式 探索并理解其性质( 和 时图象的变化情况);

　　能用反比例函数(函数模型之二)解决实际问题.

　　4.二次函数

　　基本理解二次函数的意义，能根据已知条件确定二次函数的表达式(含待定系数法);

　　会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质;

　　会用配方法将数字系数的二次函数配成y=a(x- h)2+k的形式，并以此确定图象的顶点、开口方向和对称轴;

　　会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解(转化、画图、观察猜想、验证);

　　能用二次函数(函数模型之三)解决实际问题.

　　(二) 图形与几何

　　图形的性质

　　了解棱柱的相关概念.

　　了解截面的概念，了解特殊几何体的特殊截面.

　　1.点、线、面、角

　　进一步认识点、线(线段、射线、直线)、面.

　　会比较线段的长短(图形叠合或度量数值比较)，理解线段的和、差和线段中点的意义;

　　掌握基本事实：两点确定一条直线(课本：经过两点有且只有一条直线);

　　掌握基本事实：两点之间线段最短(课本：两点之间的所有连线中，线段最短);

　　理解两点间距离的意义，会度量两点间的距离(会计算距离的和、差);

　　理解角的概念(两条射线构造定义或一条射线旋转定义)，了解角的顶点、边，了解平角、周角，了解角的平分，理解角的平分线，会比较角的大小(图形叠合或度量数值比较)，认识度、分、秒并会进行简单的换算，会计算角度的和、差;

　　2.相交线与平行线

　　理解对顶角、补角、余角，掌握对顶角相等、等角(含同角)的补角相等、等角(含同角)的余角相等的性质;

　　理解垂线、垂线段的概念，了解垂线段最短的性质，会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线;

　　理解点到直线距离的意义，会度量点到直线的距离;

　　掌握基本事实：过一点有且仅有一条直线垂直于已知直线;

　　识别同位角、内错角、同旁内角;

　　理解平行线概念;

　　会用三角尺和直尺过已知直线外一点画这条直线的平行线;

　　掌握基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行;

　　掌握基本事实：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行;

　　掌握平行线的性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等;

　　证明并掌握平行线判定定理：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等(或同旁内角互补)，那么这两条直线平行;

　　证明并掌握平行线性质定理：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等(或同旁内角互补;

　　了解平行于同一条直线的两条直线平行.

　　3.三角形

　　理解三角形有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性;

　　证明并掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握三角形内角和定理的推论(三角形外角等于和它不相邻的内角的和)，掌握“三角形任意两边之和大于第三边”;

　　了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三角形的对应边、对应角;

　　掌握基本事实：三边分别相等的两个三角形全等;

　　掌握基本事实：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等;

　　掌握基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等;

　　证明并掌握：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等;

　　证明并掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等，角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上;

　　理解线段垂直平分线的概念;

　　证明并掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上;

　　了解等腰三角形的有关概念;

　　证明并掌握等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两底角相等;底边上的高线、中线及顶角平分线重合;

　　证明并掌握等腰三角形的判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形;

　　了解等边三角形的概念;

　　掌握等边三角形的性质定理：等边三角形各角都等于 ;

　　证明并掌握等边三角形的判定定理：三个角相等的三角形(或有一个角是 等腰三角形)是等边三角形;

　　了解直角三角形的概念;

　　证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余(无需证明);直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半;

　　掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形;

　　掌握勾股定理;会运用勾股定理解决简单问题;会用勾股定理的逆定理判定直角三角形;

　　掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等;

　　了解三角形重心的概念.

　　4.四边形

　　了解多边形的定义，了解多边形的顶点、边、内角、外角和对角线等概念;掌握多边形的内角和与外角和公式;

　　理解平行四边形、矩形、菱形、正方形的概念以及它们之间的关系;了解四边形的不稳定性;

　　证明并掌握平行四边形的有关性质(定义除外)和四边形是平行四边形的条件(用定义除外);

　　证明并掌握矩形、菱形、正方形的有关性质(课本里的六条)和四边形是矩形、菱形、正方形的条件(课本里的七条);

　　了解两条平行线之间距离的意义，能度量平行线之间的距离.

　　证明并掌握三角形中位线定理;

　　5.圆

　　理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念;了解点与圆的位置关系.

　　证明并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.

　　理解圆周角与圆心角及其所对弧的关系;

　　证明并掌握圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半;直径所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径;

　　了解三角形的内心和外心;

　　了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念，掌握切线与过切点的半径的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会用三角尺过圆上一点画圆的切线.

　　会计算圆的弧长及扇形的面积.

　　了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.

　　6.尺规作图

　　了解什么叫“尺规作图”.

　　能用尺规完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作一个角的平分线，作一条线段的垂直平分线，过一点作已知直线的垂线;

　　会利用基本作图作以下图形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边的三角形，已知底边和底边上的高线的等腰三角形，已知一直角边和斜边的直角三角形，过不在同一条直线上的三点的圆，三角形的外接圆和内切圆，圆的内接正方形和正六边形;

　　对于尺规作图题，了解尺规作图的步骤和道理，保留作图痕迹.

　　7.定义、命题与定理

　　了解定义、命题、定理和推论的意义;

　　会区分命题的条件(题设)和结论，了解原命题与其逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定成立;

　　知道证明的恴义，理解证明的必要性，知道证明要合乎逻辑(即证明的过程要步步有据，并清楚其依据)，掌握用综合法(由因推果的方法)证明的格式;知道证明的过程可以有不同的表达形式;

　　理解反例的作用，知道利用反例可以证明一个命题是错误的.

　　图形的变化

　　1.图形的轴对称

　　了解轴对称的概念;

　　理解轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分;

　　能画出简单平面图形(点、线段、直线、三角形等)关于给定对称轴的对称图形;

　　了解轴对称图形的概念;

　　了解等腰三角形、矩形、菱形、圆的轴对称性;

　　2.图形的平移

　　认识平移，理解“一个图形和它经过平移所得到的图形中，两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等”的性质;

　　3.图形的旋转

　　认识旋转，理解“一个图形和它经过旋转所得到的图形中，对应点到旋转中心的距离相等，两组对应点与旋转中心连线所成的角相等”的性质;

　　了解中心对称和中心对称图形的概念;

　　了解中心对称图形的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分;

　　了解线段、平行四边形、正六边形、圆等基本图形的中心对称;

　　能用轴对称、平移、旋转或它们的组合进行图案设计.

　　4.图形的相似

　　了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段，了解黄金分割;

　　掌握基本事实“两条直线被一组平行线所截，得到的对应线段成比例”及其推论“平行于三角形一边的直线与其它两边相交，得到的对应线段成比例”;

　　认识图形的相似，了解相似多边形和相似比;

　　了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，三边成比例的两个三角形相似;

　　了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段(高线、中线、角平分线，含周长)的比等于相似比(即边的比)、面积的比相似比的平方;

　　能用图形的相似解决简单的实际问题;

　　了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小;

　　认识锐角三角函数( )，知道 角的三角函数值;知道已知锐角可以求它的三角函数值、已知三角函数值可以求它对应的锐角;

　　能用三角函数解直角三角形，能用相关的知识解决简单的实际问题.

　　5.图形的投影

　　了解中心投影和平行投影的概念;

　　会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型;

　　了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型.

　　图形与坐标

　　1.坐标与图形位置

　　体会用有序数对可以表示物体的位置;

　　理解平面直角坐标系的有关概念，能画出平面直角坐标系;

　　在给定的直角坐标系中，能根据坐标描出点的位置、由点的位置写出它的坐标;

　　能建立适当的直角坐标系，描述物体的位置;

　　对给定的正方形，会建立合适的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标，体会可以用坐标刻画一个简单图形;

　　在平面上，通用方位角和距离刻画两个物体的相对位置.

　　2.坐标与图形运动

　　在直角坐标系中，对坐标轴为对称轴，能写出一个已知顶点坐标的多边形的对称图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系;

　　在直角坐标系中，能写出一个已知顶点坐标的多边形沿坐标轴方向平移后的图形的顶点坐标，并知道对应顶点坐标之间的关系;

　　在直角坐标系中，知道一个已知顶点坐标的多边形依次沿两个坐标轴方向平移后的图形与原来的图形具有平移关系，体会图形顶点坐标的变化;

　　在直角坐标系中，知道一个已知顶点坐标的多边形(一个顶点在坐标原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原来的图形是位似的.

　　(三) 统计与概率

　　抽样与数据分析

　　1.经历收集、整理、描述和分析数据的活动，能处理较为简单的统计数据.

　　2.体会抽样的必要性，了解简单随机抽样.

　　3.会制作扇形统计图，能用统计图直观、有效地描述数据.

　　4.理解平均数的意义，会计算加权平均数;了解众数、中位数;知道平均数、加权平均数、众数、中位数是数据集中趋势的描述.

　　5.会计算简单数据的方差，体会它刻画数据离散程度的意义.

　　6.了解频数的概念，了解频数分布的意义，会列频数分布表，会画频数分布直方图，并能用频数分布直方图解释数据中蕴涵的信息.

　　7.了解总体、个体、样本，体会样本和总体的关系，知道可以通过样本的平均数和方差推断总体的平均数和方差.

　　8.根据统计结果作出合理的判断和预测，体会统计对决策的作用，能比较清晰地表达自己的观点，并进行交流.

　　9.通过表格、折线图、趋势图等感受随机现象的变化情况.

　　事件的概率

　　1.了解概率的意义，能用列举法(包括列表、画树状图)列出简单随机事件所有可能的结果以及指定事件发生的所有可能的结果，以计算简单事件发生的概率.

　　2.知道大量重复实验时频率可作为事件发生的概率的估计值.

　　注：本说明中的行为动词的分类及解释见《标准》第72页～73页.

　　三、考试方式与试卷结构

　　1. 考试方式与时间、分数

　　考试采用闭卷书面笔答方式，在答题卡或答题卷上答题，考试时间100分钟，全卷满分120分.

　　2. 试卷结构与题型

　　试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷.

　　第Ⅰ卷为选择题. 选择题是四选一型单项选择题，用答题卡答题，要求准确填涂答题卡上的相关选项.

　　第Ⅱ卷为填空题和解答题. 填空题在答题卷上作答，要求直接填写结果，不必写出计算过程或推证过程. 解答题形式多样，在答题卷上作答，要求写出文字说明、演算步骤或推证过程，特别要注意题目的个性化要求. 解答题考查丰富多样，材料来源以现行教材为主.

　　试卷中，选择题为10题，每小题3分，共30分;填空题5题，每小题3分，共15分;解答题10题，分值分别是6分、6分、6分、6分、6分、8分、8分、8分、10分、11分，共75分.

　　试卷中各部分考查内容所占分数的百分比与在教学中所占课时的百分比大致相同.

　　由于在考试中不使用计算器，在数值计算时可能会根据情况给出有关的数据.

　　四、题型(试卷)示例

　　参见近年佛山市高中阶段学校招生考试数学试题。

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