第五章 常用概率分布

　　【教学要求】

　　掌握：三个常用概率分布的概念;二项分布及Poisson分布的概率函数与累计概率、正态分布的分布函数的计算方法;医学参考值的计算。

　　熟悉：三个常用概率分布的特征。

　　了解：质量控制的意义、原理和方法

　　【重点难点】

　　第一节 二项分布

　　一、二项分布的概念与特征

　　基本概念：如果每一个观察对象阳性结果的发生概率均为π，阴性结果的发生概率均为(1-π);而且各个观察对象的结果是相互对独立的，那么，重复观察n个人，发生阳性结果的人数的概率分布为二项分布，记作B(n, π)

　　二项分布的概率函数：P(X)=

　　二项分布的特征：二项分布图的形态取决于π与n，高峰在µ=nπ处。当π接近0.5时，图形是对称的;π离0.5愈远，对称性愈差，但随着n的增大，分布趋于对称。

　　二项分布的总体均数为µ=nπ

　　方差为：=nπ(1-π)

　　标准差为：σ=

　　如果将出现阳性结果的频率记为：p=

　　则p的总体均数为π

　　标准差为：=

　　二、二项分布的应用

　　二项分布出现阳性的次数至多为k次的概率为

　　P(X≥k)==

　　出现阳性的次数至少为愚次的概率为：

　　P(X≤k)==

　　第二节 Poisson分布

　　一、Poisson分布的概念与特征

　　基本概念：Poisson分布可以看作是每个观察对象阳性结果的发生概率π很小，而观察例数行很大时的二项分布。除二项分布的三个基本条件以外，Poisson分布还要求π接近于0。有些情况π和n都难以确定，只能以观察单位(时间、空间、面积等)内某种稀有事件的发生数X来近似。

　　Poisson分布的概率函数：

　　P(X)=

　　式中，λ=nπ为Poisson分布的总体均数，X为观察单位内某稀有事件的发生次数，e为自然对数的底，λ为常数，约等于2.71828。

　　自然对数的底，又为常数，约等于2. 71828。

　　Poisson分布的特征

　　Poisson分布当总体均数λ值小于5时为偏峰，λ愈小分布愈偏，随着λ增大，分布趋向对称。

　　Poisson分布的总体均数与总体方差相等，均为A，且Poisson务布的观察结果具有可加性。

　　特点：凡个体有传染性、聚集性，均不能视为二项分布或Poisson分布。

　　二、Poisson分布的应用

　　如果某稀有事件发生次数的总体均数为A，那么发生次数至多为k次的概率为

　　P(X≤k)==

　　发生次数至少为k次的概率为

　　P(X≥k)=1-P(X≤k-1)

　　第三节 正态分布

　　一、正态分布的概念

　　基本概念：正态分布是自然界最常见的一种分布，正态分布的特点是中间频数最多，两边频数渐少且对称。

　　正态分布的概率密度函数：

　　f(X)=

　　其中，μ为总体均数，σ为总体标准差。

　　正态分布密度曲线的特点：

　　(1)关于x=μ对称。

　　(2)在x=μ处取得该概率密度函数的最大值，在x=μ±σ处有拐点，表现为钟形曲线。

　　(3)曲线下面积为1。

　　(4) μ决定曲线在横轴上的位置，μ增大，曲线沿横轴向右移;反之，μ减小，曲线沿横轴向左移。

　　(5) σ决定曲线的形状，当μ恒定时，σ越大，数据越分散，曲线越“矮胖”;σ越小，数据越集中，曲线越“瘦高”。

　　二、正态曲线下面积的分布规律

　　标准正态分布：总体均数为0、总体标准差为l的正态分布称为标准正态分布，用N(0.1)表示。

　　对任意一个服从正态分布N(u，)的随机变量X，经过如下的标准化变换

　　Z=

　　可以转变为标准正态分布。

　　正态曲线下而积的分布规律 由标准正态分布曲线下面积分布表给出。标准正态分布的分布函数值等于标准正态曲线下Z值左侧的面积，记作Φ(z)。

　　按正态分布规律，标准正态曲线下面积分布规律为：

　　单侧：P(Z≤— 或 P(Z≥)= α

　　双侧：P(Z≤—P(Z≥)= α

　　三、正态分布的应用

　　(一)确定医学参考值范围

　　基本概念：医学参考值范围是指特定的“正常”人群(排除了对所研究指标有影响的疾病和有关因素的特定人群)的解剖、生理、生化指标及组织代谢产物含量等数据中大多数个体取值所在的范围。人们习惯用该人群中95%的个体某项医学指标的取值范围作为该指标的医学参考值范围。

　　计算方法：确定医学参考值范围的方法有两种：

　　(1)百分位数法：双侧95%医学参考值范围是(P2.5，P97.5)，单侧范围是P95以下(如血铅、发汞)，或P5以上(如肺活量)。该法适用于任何分布类型的资料。

　　(2)正态分布法：若X服从正态分布，医学参考值范围还可以依正态分布规律计算。正态分布资料双侧医学参考值范围一般按下式作近似估计：

　　± 1. 96S

　　其中，和S分别为样本的均数和标准差。

　　(二)二项分布、泊松分布的正态分布近似

　　1.二项分布的正态近似 随着n的增大，二项分布趋于对称。理论上可以证明：当n相当大时，只要π不太靠近0或1，特别是当n(1-π)都大于5时，二项分布近似于正态分布。

　　由于二项分布为离散型变量分布，为了借用连续型变量的分布函数计算概率，要对概率函数作校正。

　　二项分布累计概率的正态近似计算公式为：

　　P(X≤K)=

　　P(X≥k)=

　　2.Poisson分布的正态近似 随着总体均数又的增大，Poisson分布趋向对称。理论上可以证明，随着λ→∞，Poisson分布也渐近正态分布。一般，当λ≥20时Poisson分布资料可按正态分布处理。

　　和二项分布相同，Poisson分布也是离散型变量分布。为了借用连续型变量的分布函数计算概率，也要对概率函数作校正。校正后Poisson分布的正态近似计算方法为：

　　P(X≤k)=)

　　P(X≥k)=1-P(X

　　P(