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2016选调生考试行测知识辅导:鸡兔同笼相关问题详解

来源 :中华考试网 2016-11-02

  2016选调生考试行测知识辅导:鸡兔同笼相关问题详解

  一、解题方法:

  (一)假设法

  首先我们用一种常规的方法来做做这道题。我们知道,一只鸡有2条腿,一只兔子有4条腿,现在一共有35只动物,却有94条腿,说明鸡和兔都是存在 的。我们假设所有的动物都是鸡,那么35个动物就应该有70条腿,这样就少了24条腿,对吧?大家可以想一想,这24条腿是从何而来的?原因就出在我们的 假设中,我们把所有的动物都看成是鸡,而实际上每一只兔子是比鸡多了2条腿,这24条腿应该就是因为我们把12只兔子看成了鸡,也就是说应该有12只兔 子,那鸡就应该有35-12=23只。

  我们总结一下上面的推导过程,可以知道“设鸡求兔”的公式为:

  兔头数=(总足数-2×总头数)÷(4-2)

  鸡头数=总头数-兔头数

  我们还可以通过假设全部动物是兔子来求。如果所有的动物都是兔子,那么就应该有4×35=140条腿,比已知多了46条腿,我们也可以很明显看出, 这46条腿就是我们把鸡算成了兔子的结果,每一只鸡多算了2条腿,所以,鸡的数量应该是46÷2=23只,兔子的数量为35-23=12只。两种方法得出 来的结果完全一样。

  我们同样总结一下,“设兔求鸡”的公式为:

  鸡头数=(4×总头数-总足数)÷(4-2)

  兔头数=总头数-鸡头数

  大家注意一下这两组公式,很重要的结论就出来了:

  我们如果要求兔的数量,就要把所有的动物假设为鸡来求;如果要求鸡的数量,那就把所有的动物假设是兔子。也就是说,在鸡兔同笼问题中,如果我们要求其中一种东西时,就把所有的东西都当成是另一种东西,这样就能求出它的数量了。

  (二)方程法

  也许有同学觉得刚才的假设法很复杂,想起来总是在绕圈子,那么我现在来介绍另外一种简单明了的方法——方程法。还是上面那道题,我们再来仔细看一 下,题目要求的是鸡和兔子的数量,那我们简单的把鸡的数量写成鸡,兔的数量写成兔,也就是说鸡+兔=35。现在再来看腿的情况,鸡有2条腿,兔有4条腿, 那么来算腿的数量,就有2鸡+4兔=94。我们现在把两个方程放到一起:鸡+兔=35,2鸡+4兔=94,这个方程很容易能够解出来,大家可以算一下,得 到,鸡有23只,兔有12只。

  用方程法来解这类问题,只需要分别假设出这些东西的数量,然后很容易就能列出二元一次方程组来求解。

  二、题型精讲

  我们现在来看看鸡兔同笼问题中常考的几种情况。

  (一)基础题型:已知头数和腿数,求各自的数量

  这是最基础的题型,大家可以尝试着分别用以上两种方法来试一下。

  【例题1】在同一个笼子中,有若干只鸡和兔,从笼子上看有40个头,从笼子下数有130只脚,那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只?

  【答案详解】方法一,利用假设法。假设全是鸡或全是兔,脚的总数必然要多或少,通过脚数与实际数之差,可以知道造成差的原因,于是知道应有多少只兔或应有多少只鸡。

  设鸡求兔:

  兔:(130-2×40)÷(4-2)=25

  鸡:40-25=15

  设兔求鸡:

  鸡:(4×40-130)÷(4-2)=15

  兔:40-15=25

  方法二,利用方程法。设笼子中装有鸡、兔分别为x只、y只,则根据条件可得

  x+y=40,2x+4y=130。 解得x=15,y=25。

  (二)已知头数与腿数之差,求各自的数量

  这类问题会告诉你,鸡和兔子一共有多少只,然后告诉你鸡的总腿数比兔多多少,或者少多少,然后让你来求鸡和兔子的数量。大家来看一下这道题,看看应该怎么来做。

  【例题2】鸡与兔共100只,鸡的脚数比兔的脚数少28,问鸡与兔各几只?

  【答案详解】方法一,假如再补上28÷2=14只鸡,那么鸡与兔脚数就相等,每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍,则鸡的只数是兔的只数的2倍,所以

  兔:(100+14)÷(2+1)=38只,

  鸡:100-38=62只;

  当然也可以去掉兔28÷4=7只,

  兔:(100-7)÷(2+1)+7=38只,

  鸡:100-38=62只。

  方法二,任意假设一个数。

  假设有50只鸡,就有兔100-50=50只。此时脚数之差是4×50-2×50=100,比28多了72,就说明假设的兔数多了、鸡数少了。为保持总数是100,一只兔换成一只鸡,少了4只兔脚,多了2只鸡脚,相差为6只(注意不是2)。因此要减少的兔数是:

  (100-28)÷(4+2)=12只,

  兔:50-12=38只。

  鸡:50+12=62只。

  方法三,方程法。

  设鸡有x只、兔有y只,则

  x+y=100,4y-2x=28,解得x=62,y=38。

  (三)“三者同笼”问题

  有时候大家觉得两种动物放在一起还不够复杂,这时候他们会把三种动物放在一起,然后让你们来求。大家来看看下面这道题:

  【例题3】蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿和2对翅膀,蝉有6条腿和1对翅膀,现在这三种小虫共18只,有118条腿和18对翅膀,蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只?

  A.5、5、8

  B.5、5、7

  C.6、7、5

  D.7、5、6

  【答案详解】这是一道三者同笼的“鸡兔同笼”问题。首先,蜻蜓和蝉都是6条腿,计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑,假设全是6条腿的小虫,则可知蜘蛛的数量。

  蜘蛛有(118-6×18)÷(8-6)=5只,那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。

  再假设这13只都是蝉,则可知蜻蜓的数量。

  蜻蜓有(18-1×13)÷(2-1)=5只,蝉有13-5=8只。

  大家可以看出来,这类问题实际上还是把三种动物转化成两种动物来求。

  “鸡兔同笼”问题的解法一般只适用于两类不同物体间的关系,而题目中涉及到三类不同的物体时,我们需要找到其中两类物体的共同点,把他们看成一个整体,从而把三类物体间的关系转化为两类物体间的关系。

  (四)鸡兔同笼问题变形

  大家再来看看这几道题,虽然没有鸡、没有兔子,但是他们还是鸡兔同笼问题。

  【例题4】有大小两个瓶,大瓶可以装水5千克,小瓶可以装水1千克,现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个?

  A.26个

  B.28个

  C.30个

  D.32个

  【答案详解】此题属于“鸡兔同笼”问题。利用假设法,假设都是装1千克水的小瓶,则共装水52千克,现在多装了100-52=48千克(即总量的 差),因为每差5-1=4千克(即单位量的差)就说明有一个大瓶,那么大瓶共有48÷4=12个,小瓶有52-12=40个,两者相差40-12=28 个。

  【例题5】小明每天必须做家务,做一天可得3元钱,做得特别好时每天可得5元钱,有一个月(30天)他共得100元,这个月他有( )天做得特别好。

  A.2

  B.3

  C.5

  D.7

  【答案详解】假设每天都得3元钱,那么他一个月应得30×3=90元,而实际得到100元,做得特别好时每天可多得5-3=2元,则这个月有(100-90)÷(5-3)=5天做得特别好。

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