已知设△ABC的三边长为a、b、C，2sin2A=3（sin2B+sin2C）-中华考试网

已知设△ABC的三边长为a、b、C，2sin2A=3（sin2B+sin2C）

来源 :焚题库 2020-07-14

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简答题 已知设△ABC的三边长为a、b、C，2sin²A=3（sin²B+sin²C）且cos2A+3cosA+3cos（B-C）=1，求证：a：b：c=

：1：1。

参考答案：因所证的是△ABC三边的比，所以可将题中角的关系式转化为边的关系式，需用正弦定理关于题中的余弦关系式可通过恒等变形化为正弦函数的关系式。
∵2sin²A=3（sin²B+sin²C）…①
由正弦定理得，2a²=3（b²+c²）…②
∵cos2A+3cosA+3cos（B-C）=1
∴3[cosA+cos（B-C）]=1-cos2A
∵A=180°-（B+C）
∴3[-cos（B+C）+cos（B-C）]=2sin²A
由两角和与差的余弦公式得
6sinBsinB=2sin²A…③
由①③得，2sinBsinC=sin²B+sin²C
sin²B-2sinBsinC+sin²C=0
（sinB-sinC）²=0
sinB= sinC
由正弦定理得

∴a：b=：1
于是a：b：c=：1：1。