影响线的概念当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下的）沿结构移动时
来源 :焚题库 2019-07-03
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2．影响线的概念当一个指向不变的单位集中荷载（通常是竖直向下的）沿结构移动时，表示某一量值变化规律的图形，称为该量值的影响线。例如，如图3-2-1所示的简支梁，当荷载F
=1分别移动到A、1、2、3、B各等分点时，反力
的数值分别为1、
、
、
、0。如果以横坐标表示荷载F=1的位置，以纵坐标表示F的数值，则可将以上数值在水平的基线上用竖标绘出，再把它们的顶点相连，这就形成了F的影响线。 
应注意区分影响线与内力图：影响线表示的是单位力在结构上移动所导致的某一个截面的内力，而内力图表示的是在荷载的作用下结构上所有截面位置的内力。 2．静定梁的影响线绘制可以有两种方法：静力法和机动法。 (1)静力法用静力法绘制影响线，就是依据影响线的定义，将集中单位荷载F=1作用于任意位置，并选定一坐标系，以横坐标z表示荷载作用点位置，然后依据平衡条件求出所求量值与z的函数关系，这种关系式称作"影响线方程"，再根据方程作图。【算例1】用静力法绘制简支梁截面C的弯矩影响线和剪力影响线。解：如图3-2-2所示，令单位荷载F=1与A点的距离为χ，弯矩以截面下缘受拉为正，则截面C的弯矩可按下式求得： 
可见，M的影响线在C点以左和以右均为直线形式，在C点处为
。剪力以绕隔离体顺时针旋转为正，截面C的剪力可按下式求得： 
于是，F
的影响线在C点以左和以右均为直线形式，在C点处会发生突变：从左侧逼近C点时，为
；从右侧逼近C点时，
。 (2)机动法用机动法绘制影响线的依据是理论力学中的虚位移原理，即刚体体系在力系作用下处于平衡的充要条件是：在任何微小的虚位移中，力系所作的虚功总和为零。如图3-2-3简支梁，欲求支反力F的影响线，首先去掉A支座处的链杆，代之以正向的反力F，此时原结构变成具有一个自由度的几何可变体系。然后施以微小虚位移，F和δ作用点沿力作用方向的虚位移分别为δ
、δ，则虚功方程为： Xδ+Fδ=0 因F=1，故
令δ=1，则上式变为X=-δ，可见，δ图就代表X的影响线，只是符号相反。也就是说，F在数值上等于δ。由于δ以与F方向一致为正，即以向下为正，于是可知，X的影响线以向上为正。 
【算例2】用机动法绘制简支梁截面C的弯矩影响线和剪力影响线。解：如图3-2-4所示，解除与M
相应的联系，即将截面C改为铰接，并用一对力偶代替原有联系的作用，然后使AC、BC两个刚片沿Mc的正向发生虚位移，则可写出虚功方程： M（α+β)+Fδ=0故
其中，α+β是AC与BC两刚片的相对转角。若令α+β=1，则所得竖向虚位移图就表示M的影响线。解除与F相应的联系，即将截面C改为两根水平链杆联系，使其沿F正向发生虚位移，写出虚功方程： F(CC
+CC
)+Fδ=0 于是
若令CC+CC=1，则所得竖向虚位移图就表示f的影响线，如图3-2-4(e)所示。 
3．影响线的应用 (1)利用影响线求量值若某量值的影响线已经绘出，当有若干个集中荷载作用时（如图3-2-5所示），根据叠加原理，所产生的S值为： S=PY+Py+…+P
y式中，y、y、…、y分别对应于P、P、…、P作用点处的影响线竖标。 
当为分布荷载时，如图3-2-6（α）所示，可将分布荷载沿长度分为无穷小的微段，则每一微段d上的荷载qd可视为集中荷载，故在作用区段αb范围内的分布荷载所产生的量值S为： 
若为均布荷载，如图3-2-6(b)所示，则上式成为： 
式中，ω为影响线在均布荷载范围内的面积。若该范围内影响线有正有负，则ω应为正负面积的代数和。 
(2)简支梁的绝对最大弯矩在对钢结构中的吊车梁进行设计时，会遇到简支梁的绝对最大弯矩计算问题。由于移动荷载的作用位置不同，对于每个截面而言，都存在一个最大弯矩。在所有截面的最大弯矩中最大的那个，就是"绝对最大弯矩"。对于这个问题，可以使用计算机方法很容易求出，步骤是： ①根据精度要求将梁分成微段，例如每微段长度为1cm，于是可得到节点χ、χ、…、χ。 ②做出节点χ位置处截面的弯矩影响线。 ③以梁的左支座作为起点，将这组集中荷载从左向右移动，每移动1个微段长度，计算一次∑P
y，直到这组集中荷载的最后一个到达梁的右支座位置。这样，得到χ截面弯矩的一个序列，求出这个序列的最大值，就是χ截面在该移动荷载作用下的弯矩最大值。 ④用同样方法，得到其他节点位置的最大弯矩。 ⑤对所有节点位置的最大弯矩取最大者，这就是梁的绝对最大弯矩。如果用手工方式计算，则应是下面的步骤： ①确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载P
。 ②求该简支梁上可以布置的集中荷载的合力∑P。 ③使P与∑P对称于梁的中点，此时，P作用点截面的弯矩，为梁绝对最大弯矩。需要注意的是，以上只是正向行驶的情况。若考虑到荷载可能会反向行驶，则需要将这组集中荷载排列的先后顺序颠倒，用上述同样的步骤，得到荷载反向行驶时的绝对最大弯矩。最后，取正向时和反向时的较大者，作为最终的绝对最大弯矩。《钢结构设计手册》中给出了吊车梁绝对最大弯矩的计算公式，思路即为上面所述的手工方式。《钢结构设计手册》（中国建筑工业出版社，1989年）以及《钢结构设计手册》（上册，第三版，中国建筑工业出版社，2004年）给出的最大弯矩点(C点)的位置为： 
最大弯矩为： 
最大弯矩处的相应剪力为： 
笔者研究发现，对于6个轮子作用于梁上的情况（如图3-2-7所示），《钢结构设计手册》中给出的公式值得商榷。下面以一个算例说明。 
【算例3】已知吊车轮压如图3-2-8所示，P=P=611.6kN（i=1，2，…，6），ι=12m，a=840mm，a=3960mm，a
=840mm，a
=3560mm，a
=840mm，求吊车梁的绝对最大弯矩（该例题来自于1989年版《钢结构设计手册》）。 
解：P作用于影响线顶点时，C点位置： 
反向行驶，P作用于影响线顶点时，C点位置： 
可见，依据《钢结构设计手册》中的公式，只能得到5133kN．m，而实际最大弯矩为5147kN．m。事实上，分析可知，只要a、a、…、a改为a、a、…、a，仍旧代入手册公式，再计算一遍反向行驶的情况，取二者所得弯矩的较大者。 (3)超静定梁的最不利荷载位置超静定梁在均布荷载作用下的最不利荷载位置，可以由影响线确定：将均布活载布置在影响线正号面积部分，得到最大值时的荷载位置，将均布活载布置在影响线负号面积部分，得到最小值时的荷载位置。因此，这里的关键问题是如何确定影响线的形状，而不是影响线的竖标值。这时，可以应用米勒一布雷斯劳原理得到超静定梁的"定性影响线"：撤除与所求内力或反力S相应的约束，使体系沿S的正向发生位移，得到的变形图即为影响线的形状。横坐标以上图形为正，横坐标以下图形为负。【算例4】作出图3-2-9(a)所示等截面连续梁的F
、M、M、
以及F
的影响线形状。 
解：去掉支座C处的链杆，代之以向上的力（支座反力通常以向上为正），得到的曲线形状如图3-2-9(b)所示，即为F的影响线。 
将节点C处改为铰，添加力偶（以下缘受拉为正方向），得到Mc的影响线如图3-2-9(c)所示。 
将节点K处改为铰，添加力偶（以下缘受拉为正方向），得到的曲线如图3-2-9(d)所示，此即为M
的影响线。由于K处没有支座，故曲线在CD跨不是很平滑。 
将支座C右侧改为两个水平链杆，就去掉了剪力的约束。剪力的正负号规定是：取隔离体，以隔离体顺时针转动为正，简称"左上右下为正"。据此施加正的剪力，得到曲线如图3-2-9(e)所示，此即为的影响线。 
将K处改为两个水平链杆，施加正的剪力，得到F的影响线形状如图3-2-9(f)所示。 