图4-3-22所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的物体
来源 :焚题库 2018-04-26
中简答题 图4-3-22所示的悬臂梁，在自由端上挂一弹簧，弹簧上悬挂一重P的物体。设在力P作用下弹簧的静伸长为δ
，梁的自由端的静挠度为
。如给重物一初速度v
，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。 
，梁的自由端的静挠度为。如给重物一初速度v，试求重物的自由振动方程。梁和弹簧的质量均忽略不计。 参考答案：
悬臂梁对物体的作用相当于一弹簧，根据悬臂梁端点的静挠度
可算出此梁在端点沿铅垂方向的刚性系数为 
类似地，可算出悬挂弹簧的刚性系数为 
于是，图4-3-22(a)所示振动系统可以抽象为图4-3-22(b)所示的串联弹簧系统。又因串联弹簧可用一等效弹簧来替代，其当量刚性系数为 
最终该系统可简化为图4-3-22(c)所示的质量弹簧系统。现以此力学模型进行求解。 (1)对象。取重物为研究对象。 (2)运动分析：重物由于初始干扰，沿铅垂方向作自由振动。为了简便，选取重物的静平衡位置O为坐标原点，
轴向下为正。t＝0时
＝0，
＝v。 (3)受力分析。通常，将重物放在轴正向的任一位置上进行受力分析。作用其上的力有重力P和弹性力F，力F在轴上的投影为 F
＝-
(+δ+) (4)列运动微分方程，并求解振动规律。由F＝ma得 
(a) 因重物处于静平衡位置时，重力P与静变形引起的弹性力F平衡，即有P-(+δ)＝0，故上式可简化为 
(b) 即 
(c) 式中 
(d) 由表4-3-10所示的公式，可知式(c)的通解为 ＝Asin(pt+α) 根据初始条件＝0，＝v，可分别求得振幅A及初位相α为 
此重物的自由振动方程可表示为 
相关知识：四、理论力学