参考答案：

8．刚度与长细比 (1)刚度的概念在《工程结构设计基本术语》GBJ132-90中，对刚度(stiffness;rigidity)的解释为"结构或构件抵抗单位变形的能力"。《铁路桥涵混凝土和预应力混凝土结构设计规范》TB10002.3-2005对这一术语解释为"结构或构件抵抗变形的能力"，没有"单位"两个字。在《DictionaryofEngineering》(SecondEdition，McGraw-Hill)-书中，对stiffness的解释为"Theratioofasteadyforceactingonadeformableelasticmediumtotheresul-tingdisplacement"。通常，我们把"刚度"说成是"构件发生单位位移所需要的外力值"。于是，"抗弯刚度"是指EI，因为截面发生单位转角所需要的弯矩值为EI；EA则是抗拉刚度。 (2)长细比的概念在《工程结构设计基本术语》GBJ132-90中，对长细比(slendernessratio)的解释为"构件的计算长度与其截面回转半径的比值"。在钢结构中，轴心受力构件、拉弯构件与压弯构件的刚度用长细比表示，受弯构件的刚度用挠度（或者说挠跨比）表示。逻辑上讲，压弯构件作为轴心受力构件与受弯构件中间的一种情况，在刚度的表达上似乎应该有一个"过渡"。笔者认为，实际的压弯构件更多地表现为框架柱，以承受轴力为主，故规范规定其刚度按轴心受力构件考虑。有文献指出，当压弯构件承受的弯矩值较大时，也应对其进行挠度验算。但何时才算"较大"，并没有明确。构件的长细比应不超过规范规定的限值。受压构件的长细比要求比受拉构件严格。构件的计算长度ι=μι，计算长度系数μ与构件两端的约束条件有关。截面回转半径，由于惯性矩I对截面不同的轴会有不同的值，因此，通常应对两个主轴(χ轴和y轴)取值。计算长细比时，计算长度与回转半径要对应，即ι与i、ι与i，下角标χ、y分别表示绕χ轴和y轴。 2．构件计算长度的确定对于受拉构件，其计算长度，通常取为其几何长度。对于受压构件，则分为三种情况： (1)独立的受压构件独立柱的计算长度系数μ可以由理论分析得到（具体推导过程可参见《材料力学》教材），如表3-8-1所示。考虑到理论上的约束条件在现实中难以完全实现，美国结构稳定研究委员会(SSRC，即StructualStabilityResearchCouncil)给出了可用于实际设计时采用的值，这就是表3-8-1中给出的建议值。该建议值亦可见于美国钢结构规范SpecificationforStruturalSteelBuildings-AllowableStressDesignandPlasticDesign(通常简称为ASD89)。 (2)桁架中的杆件规范表5.3.1给出了桁架弦杆和单系腹杆的计算长度ι，今录于此，见下面的表3-8-2。 对于该表，需要说明的是： ①规范5.3.1条中，"用节点板与弦杆连接"并不是解释"单系腹杆"的。所谓"单系腹杆"，是指该腹杆一端为上弦节点，另一端为下弦节点，中间没有再分。规范5.3.1条的本意是："对于桁架弦杆和单系腹杆（当腹杆用节点板与弦杆连接时），计算长细比所用的计算长度按表5.3.1确定"。 ②对于单角钢腹杆，由于其截面主轴(关于"截面主轴"的概念，详见本书专题聚焦3.1)与桁架平面斜交，故按斜截面考虑弯曲屈曲，对应的，应按表中斜平面取计算长度。 ③对于格构式柱中的斜缀条，有观点认为，由于交会于一个节点的各杆件均受压，所以，取计算长度为杆件的几何长度。笔者认为，在实际的设计中可以这样考虑，但若按照规范条文取值，仍应遵照表5.3.1。支持笔者观点的文献有：包头钢铁设计研究总院《钢结构设计与计算》（第2版）第368页的算例；邱鹤年《钢结构设计禁忌及实例》第242页的算例。规范5.3.1条还规定，当桁架弦杆侧向支承点之间的距离为节间长度的2倍，且两个节间的轴压力不相等时(见图3-8-1a)，取平面外计算长度为 式中，N为较大压力，N为较小压力或拉力（以压为正拉为负）。再分式腹杆体系中的受压主斜杆(见图3-8-1b)以及K形腹杆体系的竖杆(见图3-8-1c)，在桁架平面外的计算长度也采用上式计算（受拉主斜杆取为ι）；桁架平面内的计算长度取节点中心间距离。 (3)框架柱由于框架柱与横梁等其他构件在上、下节点处相连，因此，必须合理考虑与该柱相连的这些构件的约束。同时，这里的μ还与框架是否侧移有关。 ①框架的分类规范把框架分为强支撑框架、弱支撑框架和无支撑纯框架。所谓无支撑纯框架，就是框架的侧移刚度完全依靠柱子本身的刚度和节点的刚性提供。无支撑纯框架表现为有侧移框架。对有支撑框架，依据抗侧移刚度分为强支撑框架、弱支撑框架。当满足下式要求时，为强支撑框架，框架柱的计算长度系数按无侧移框架柱确定。 S≥3(1.2∑N-∑N) 式中S-支撑构件的抗侧移刚度（产生单位侧倾角的水平力）； ∑N、∑N-第i层层间所有框架柱用无侧移框架和有侧移框架计算长度系数算得的轴压杆稳定承载力之和。 ②框架柱的计算长度系数框架虽然为空间结构，但通常我们取平面框架作为计算模型，不考虑空间作用。框架柱计算长度系数的计算，区分为框架平面内和框架平面外。在框架平面内，只考虑与柱直接相连的构件的约束作用，如图3-8-2中的柱，其计算长度系数μ，与该柱上、下端相连横梁线刚度之和及柱线刚度之和的比值K、K有关，即 由K、K再区分无侧移框架和有侧移框架，分别按照规范表D-1和表D-2查表得到计算长度系数，用于计算框架平面内的计算长度。框架柱在框架平面外的计算长度由支撑构件的布置情况确定。支撑体系提供柱在平面外的支承点，这些支承点应能阻止柱沿厂房纵向发生侧移。例如，柱下端的支承点是基础的表面和吊车梁的下翼缘处；柱上端的支承点是吊车梁的制动梁和屋架下弦纵向水平支撑或托架的弦杆。关于规范表D-1和表D-2，有以下需要说明：表D-1、表D-2中的计算长度系数是根据理论模型推导而来。这里所谓的"框架"(frame)是指梁与柱的连接为刚性节点的情况。以无侧移框架为例，正常情况下，梁与柱的连接为刚性节点，梁两端的转角大小相等，方向相反。取出框架中的横梁AD进行研究，如图3-8-3(a)所示，根据结构力学知识可列出其转角弯矩方程为 式中I、ι-横梁AD的截面惯性矩和长度； θ-横梁AD在A点的转角。 当横梁端部连接约束发生变化时，会影响到梁的转动刚度（所谓转动刚度，就是梁端发生单位转角所需要的弯矩值），这时，就需要对横梁的线刚度加以修正。设修正系数为α，标准情况(图3-8-3a)不需要修正，即α=1.0。图3-8-3(b)中，横梁的远端为固结（完全固定），转角为零，于是，。与标准情况时比较，可知此时相当于将横梁线刚度乘以2再使用标准情况公式，故α=2.0；图3-8-3(c)中，远端为铰接，，此时应取α=1.5。有侧移框架的情况与此类似，只不过，对于标准的梁与柱的连接为刚性节点情况，此时梁两端的转角大小相等，方向相同，于是有 这样，远端为嵌固时，α=4/6=2/3；远端为铰接时，α=3/6=0.5。 3．换算长细比规范的2.1.16条，对换算长细比(equivalentslendernessratio)的解释为："在轴心受压构件的整体稳定计算中，按临界力相等的原则，将格构式构件换算为实腹构件进行计算时所对应的长细比或将弯扭与扭转失稳换算为弯曲失稳时采用的长细比"。换算长细比在本质上讲是对名义长细比（例如λ、λ）的放大，规范中有两处具体体现：①单轴对称截面绕对称轴(y轴)失稳时应用λ代替λ；②格构式轴心受压柱绕虚轴(χ轴)失稳时应用λ代替λ。 (1)λ的计算截面为单轴对称的构件，绕对称轴（y轴）的失稳伴随扭转，为弯扭失稳，承载力会降低。规范5.1.2条第2款规定应λ代替λ，λ按照下式计算： λ的值来源于弹性稳定分析，由解方程得到。计算e时要用到剪心位置，"剪心"的概念见本书专题聚焦3.1。由于该公式比较复杂，因此规范对常用的截面又规定了简化计算公式。 (2)λ的计算格构式构件绕虚轴（通常记作z轴）发生失稳时，构件因弯曲而导致有剪力产生，剪力由柔弱的缀条负担，故产生较大的附加变形，由此导致承载力降低。规范的5.1.3详细规定了λ的计算。对于双肢组合构件，换算长细比λ按照下式计算当缀件采用缀条时： 当缀件采用缀板时： 使用以上公式时注意： ①对于图3-8-4(a)，横缀条不受力，其设置目的是为了减小分肢的计算长度。 ②横缀条不受力的情况，即图3-8-4(a)，方可使用上式，对于图3-8-4(b)，以上公式不适用。 ③A的取值，对于图3-8-4(a)的情况，应取为2倍的斜缀条截面积；对于图3-8-4(c)的双缀条体系，A取为4倍的斜缀条截面积。 (3)格构式轴心受压柱的算例为加深对格构式轴心受压柱的认识，下面给出两个算例加以说明。【算例1】某缀条式格构柱，截面采用一对槽钢，翼缘肢尖向内；柱高6m，两端铰接，承受轴心压力设计值N=1500kN，钢材用0235钢，焊条为E43系列。试选择截面并设计缀条。解：依题意，有ι=ι=6m。 ①对实轴（y轴）计算，选择截面设λ=70，按b类截面查表，得φ=0.751，于是所需截面面积 所需回转半径 试选2[28b，A=2×45.62=91.24cm，i=10.6cm，自重为716N／m，总重716×6=4296N，外加缀材及其柱头、柱脚等构造用钢，柱重按10kN计算，从而N=1510kN。对实轴验算刚度和整体稳定 ，刚度满足要求由λ=56.6按照b类查表，得到φ=0.825，于是 绕y轴整体稳定满足要求。 ②对虚轴(x轴)计算，确定肢间距离规范8.1.2条规定，钢结构中受力构件及其连接中，不宜采用截面小于L45×4的角钢。今缀条采用L45×4，则A=2×3.49=6.98cm。由等稳定原则λ=λ，可得 相应的回转半径为 利用回转半径与截面轮廓尺寸的近似关系，可得，取b=26cm。查槽钢截面特征表，可得到由此形成的截面如图3-8-5所示。同时，可得槽钢[28b对自身形心轴（图3-8-5中1-1轴）的惯性矩与回转半径分别为I=242.1cm,i=2.3cm。 ③对所选柱截面进行验算 a．截面特征 I=2×(242.1+45.62×10.982)=11484cm b．刚度 ，刚度满足要求 c．绕虚轴(x轴)的整体稳定性按A=57，b类截面查表，得到φ=0.823，于是 ，满足要求 d．分肢稳定性验算取斜缀条轴线与柱轴线的夹角a=45°，于是，分肢对1-1轴的计算长度ι和长细比λ分别为： 今λ=11.3<0.7λ=0.7×57=39.9，分肢稳定性满足要求。 ④缀条及其分肢连接的计算依据规范5.1.6条，轴心受压柱的剪力为 一根缀条所受的内力 斜缀条长度ι=26/cos45°=36.8cm。前已选定缀条为L45×4，查表可得该角钢截面积A=3.49mm，最小回转半径i=0.89cm。于是，缀条的最大长细比为： 按b类截面查表，得φ=0.894，由于是单角钢单面连接，规范3.4.2条规定，计算构件稳定时的强度折减系数为γ=0.6+0,0015×41.3=0.662，则 可见，所选缀条截面满足受力要求。缀条与分肢间的连接焊缝采用三面围焊，取h=4mm，可以满足最大、最小焊脚尺寸的构造要求。所需围焊缝的计算长度为 数值较小，按构造满焊即可。对于本题，还需要说明两点： ①在缀条的计算中，取ι=ι适用于缀条与柱肢直接相连的情况。若缀条与柱肢采用节点板连接，则依据规范的5.3.1条，缀条在其斜平面内计算长度应取为ι=0.9ι。计算长细比所需要的回转半径均取截面的最小回转半径i。 ②在确定分肢间距时，也可以直接用移轴公式得出。试演如下：将两分肢轴线间的距离记作a，一个分肢对1-1轴的惯性矩、回转半径分别记作I、i，两个分肢组成的全部截面面积为A，则根据移轴公式，有 两边同除以A，则 即 【算例2】将【算例1】中缀条受压柱改为缀板受压柱，其他条件不变，重新设计。解：①同上例，按绕实轴（y轴）初步选定截面为2[28b。 ②按虚轴(χ轴)计算，确定肢间距离。依据规范5.1.4条，分肢长细比应满足λ≤0.5A，今暂取λ=λ，则λ=0.5×56.6=28.3，取为28。 利用回转半径与截面轮廓尺寸的近似关系，可得b=i／0.44=12.2/0.44=27.7cm，取b=28cm。形成的截面如图3-8-6所示。 ③对所选柱截面验算。 a．截面特征 I=2×(242.1+45.62×11.982)=13535cm λ=ι／i=600／12.2=49.2 b．刚度和整体稳定性验算 对y轴按b类截面查表，得φ=0.825。 c．分肢稳定性验算 λ={λ，λ，50} 今，满足要求。 ④缀板设计。缀板所用的钢板，通常按照构造要求确定，其沿柱轴向方向的高度，厚度，a为分肢轴线间距离。今a=239.6mm，据此可得到缀板高度不小于160mm，厚度不小于6mm，取h×t=180mm×8mm。今缀板采用焊接，于是，缀板间净距ι=iλ=23×28=644mm，采用650mm，相邻缀板中心距ι=ι+hp=650+180=830mm。依据规范8.4.1条，缀板柱中，同一截面处缀板的线刚度之和不得小于柱较大分肢线刚度的6倍。今缀板线刚度之和与分肢线刚度的比值为： ⑤缀板与分肢连接焊缝的计算。算例1已经求得柱的剪力V=23.1kN，这样，作用于一个缀板系的剪力为V=V/2=11.55kN。缀板与分肢连接处的内力按照下式计算：剪力 弯矩 缀板与分肢采用三面围焊，焊缝群承受扭矩作用。今计算时偏于安全仅考虑竖向焊缝，即取其计算长度ι=h=180mm，这时，可按照焊缝受弯考虑。在剪力T与弯矩M的共同作用下，该连接角焊缝的强度应满足下式要求： 据此可得到所需焊接尺寸为 又根据构造要求，有，h≤8-(1～2)=6～7mm，取h=7mm，可以满足计算要求和构造要求。

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