初学者必看的Python递归函数

　　在函数内部，可以调用其他函数。如果一个函数在内部调用自身本身，这个函数就是递归函数。

　　举个例子，我们来计算阶乘n! = 1 x 2 x 3 x ... x n，用函数fact(n)表示，可以看出：

　　fact(n) = n! = 1 x 2 x 3 x ... x (n-1) x n = (n-1)! x n = fact(n-1) x n

　　所以，fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

　　于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

　　def fact(n):

　　if n==1: return 1

　　return n * fact(n - 1)

　　上面就是一个递归函数。可以试试：

　　>>> fact(1)1

　　>>> fact(5)120

　　>>> fact(100)933262154439441526816992388562667004907159682643816214685929638952175999932299156089414639761565182862536

　　97920827223758251185210916864000000000000000000000000

　　如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

　　===> fact(5)

　　===> 5 * fact(4)

　　===> 5 * (4 * fact(3))

　　===> 5 * (4 * (3 * fact(2)))

　　===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1))))

　　===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1)))

　　===> 5 * (4 * (3 * 2))

　　===> 5 * (4 * 6)

　　===> 5 * 24

　　===> 120

　　递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

　　使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈(stack)这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)：

　　>>> fact(1000)

　　Traceback (most recent call last):

　　File "", line 1, in

　　File "", line 4, in fact

　　...

　　File "", line 4, in fact

　　RuntimeError: maximum recursion depth exceeded in comparison

　　解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

　　尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

　　上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

　　def fact(n):

　　return fact_iter(n, 1)

　　def fact_iter(num, product):

　　if num == 1:

　　return product

　　return fact_iter(num - 1, num * product)

　　可以看到，return fact_iter(num - 1, num * product)仅返回递归函数本身，num - 1和num * product在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

　　fact(5)对应的fact_iter(5, 1)的调用如下：

　　===> fact_iter(5, 1)

　　===> fact_iter(4, 5)

　　===> fact_iter(3, 20)

　　===> fact_iter(2, 60)

　　===> fact_iter(1, 120)

　　===> 120

　　尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。

　　遗憾的是，大多数编程语言没有针对尾递归做优化，Python解释器也没有做优化，所以，即使把上面的fact(n)函数改成尾递归方式，也会导致栈溢出。

　　小结

　　使用递归函数的优点是逻辑简单清晰，缺点是过深的调用会导致栈溢出。

　　针对尾递归优化的语言可以通过尾递归防止栈溢出。尾递归事实上和循环是等价的，没有循环语句的编程语言只能通过尾递归实现循环。

　　Python标准的解释器没有针对尾递归做优化，任何递归函数都存在栈溢出的问题。