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2022考研《数学一》章节习题:线性代数(一)

来源 :中华考试网 2021-08-09

  1.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(A B)=r,则().

  A.r>m

  B.r=m

  C.r

  D.r≥m

  正确答案:C  

  答案解析:显然AB为m阶矩阵,r(A)≤n,r(B)≤n,而r(AB)≤min{r(A),r(B)}≤n小于m,所以选(C).

  2.设A为n阶矩阵,且|A|=0,则A().

  A.必有一列元素全为零

  B.必有两行元素对应成比例

  C.必有一列是其余列向量的线性组合

  D.任一列都是其余列向量的线性组合

  正确答案:C  

  答案解析:因为|A|=0,所以r(A)小于n,从而A的n个列向量线性相关,于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示,选(C).

  答案解析:因为r(A^*)=1,所以r(A)=4-1=3,选(C).

  3. 设A为四阶非零矩阵,且r(A^*)=1,则().

  A. r (A)=1

  B. r (A)=2

  C.r (A)=3

  D.r (A)==4

  正确答案:C  

  答案解析:因为r(A^*)=1,所以r(A)=4-1=3,选(C).

  4.设n阶方阵 A、 B、C满足关系式ABC= E,其中E是n阶单位阵,则必有

  A.ACB=E

  B.CBA=E

  C.BAC=E

  D.BCA=E

  正确答案:D  

  答案解析:矩阵的乘法没有交换律,只有一些特殊情况可交换,由于A,B,C均为n阶矩阵,且ABC=E,据行列式乘法公式|A||B||C|=1知A、B、C均可逆.那么对ABC=E先左乘A^-1再右乘A,有ABC=E→BC=A^-1→BCA=E.选(D).类似地,由BCA=E→CAB=E.不难想出,若n阶矩阵ABCD=E,则有ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E.

  5.设 A, B,C均为n阶矩阵,E为n阶单位矩阵,若B=E+A B,C=A+C A,则B-C=

  A.E

  B.-E

  C.A

  D.-A

  正确答案:A  

  6.设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是().

  A.若A,B可逆,则A+B可逆

  B.若A,B可逆,则AB可逆

  C.若A+B可逆,则A-B可逆

  D.若A+B可逆,则A,B都可逆

  正确答案:B  

  答案解析:若A,B可逆,则|A|≠0,|B|≠0,又|AB|=|A||B|,所以|AB|≠0,于是AB可逆,选(B).

  7.设A,B为n阶对称矩阵,下列结论不正确的是().

  A.AB为对称矩阵

  B.设A,B可逆,则A^-1+B^-1为对称矩阵

  C.A+B为对称矩阵

  D.kA为对称矩阵

  正确答案:A  

  8. 设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是()

  A.AB≠O的充分必要条件是A≠0且B≠0

  B.AB=O且r

  C.AB=0且r(A)=n,则B=0

  D.若AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0

  正确答案:C  

  9.N阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,则().

  A.|A|=|B|

  B.|A|≠|B|

  C.若|A|=0则|B|=0

  D.若|A|>0则|B|>0

  正确答案:C  

  10.设A为n阶矩阵,A^2=A,则下列结论成立的是().

  A.A=O

  B.A=E

  C.若A不可逆,则A=O

  D.若A可逆,则A=E

  正确答案:D  

  答案解析:因为A^2=A,所以A(E-A)=O,由矩阵秩的性质得,r(A)+r(E—A)=n,若A可逆,则r(A)=n,所以r(E-A)=0,A=E,选(D).

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