1.设A为m×n阶矩阵,B为n×m阶矩阵,且m>n,令r(A B)=r,则().

　　A.r>m

　　B.r=m

　　C.r

　　D.r≥m

　　正确答案：C  

　　答案解析：显然AB为m阶矩阵，r(A)≤n，r(B)≤n，而r(AB)≤min{r(A)，r(B)}≤n小于m，所以选(C).

　　2.设A为n阶矩阵,且|A|=0,则A().

　　A.必有一列元素全为零

　　B.必有两行元素对应成比例

　　C.必有一列是其余列向量的线性组合

　　D.任一列都是其余列向量的线性组合

　　正确答案：C  

　　答案解析：因为|A|=0，所以r(A)小于n，从而A的n个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C).

　　答案解析：因为r(A^*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C).

　　3. 设A为四阶非零矩阵,且r(A^*)=1,则().

　　A. r (A)=1

　　B. r (A)=2

　　C.r (A)=3

　　D.r (A)==4

　　正确答案：C  

　　答案解析：因为r(A^*)=1，所以r(A)=4-1=3，选(C).

　　4.设n阶方阵 A、 B、C满足关系式ABC= E，其中E是n阶单位阵，则必有

　　A.ACB=E

　　B.CBA=E

　　C.BAC=E

　　D.BCA=E

　　正确答案：D  

　　答案解析：矩阵的乘法没有交换律，只有一些特殊情况可交换，由于A，B，C均为n阶矩阵，且ABC=E，据行列式乘法公式|A||B||C|=1知A、B、C均可逆.那么对ABC=E先左乘A^-1再右乘A，有ABC=E→BC=A^-1→BCA=E.选(D).类似地，由BCA=E→CAB=E.不难想出，若n阶矩阵ABCD=E，则有ABCD=BCDA=CDAB=DABC=E.

　　5.设 A， B，C均为n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若B=E+A B，C=A+C A，则B-C=

　　A.E

　　B.-E

　　C.A

　　D.-A

　　正确答案：A  

　　6.设A,B为n阶矩阵,则下列结论正确的是().

　　A.若A,B可逆,则A+B可逆

　　B.若A,B可逆,则AB可逆

　　C.若A+B可逆,则A-B可逆

　　D.若A+B可逆,则A,B都可逆

　　正确答案：B  

　　答案解析：若A，B可逆，则|A|≠0，|B|≠0，又|AB|=|A||B|，所以|AB|≠0，于是AB可逆，选(B).

　　7.设A,B为n阶对称矩阵,下列结论不正确的是().

　　A.AB为对称矩阵

　　B.设A,B可逆,则A^-1+B^-1为对称矩阵

　　C.A+B为对称矩阵

　　D.kA为对称矩阵

　　正确答案：A  

　　8. 设A,B皆为n阶矩阵,则下列结论正确的是()

　　A.AB≠O的充分必要条件是A≠0且B≠0

　　B.AB=O且r

　　C.AB=0且r(A)=n，则B=0

　　D.若AB≠0,则|A|≠0或|B|≠0

　　正确答案：C  

　　9.N阶矩阵A经过若干次初等变换化为矩阵B,则().

　　A.|A|=|B|

　　B.|A|≠|B|

　　C.若|A|=0则|B|=0

　　D.若|A|>0则|B|>0

　　正确答案：C  

　　10.设A为n阶矩阵,A^2=A,则下列结论成立的是().

　　A.A=O

　　B.A=E

　　C.若A不可逆,则A=O

　　D.若A可逆,则A=E

　　正确答案：D  

　　答案解析：因为A^2=A，所以A(E-A)=O，由矩阵秩的性质得，r(A)+r(E—A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E-A)=0，A=E，选(D).

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