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2018年一级结构工程师《理论力学》复习点:分析力学

来源 :中华考试网 2017-11-25

2018年一级结构工程师《理论力学》复习点:分析力学

  分析力学

  明白分析力学与牛顿力学,研究对象都是宏观物体,任务都是解决宏观物体的运动规律,但所采用的方法很不相同,在牛顿力学中,最重要的量是力和加速度,矢量性很强,除了动能定理和机械能守恒定律外,几乎都是矢量式,因此务必要建立适当的坐标系,若是动力学则要进行准确的受力分析,把矢量式变为分量式;若是运动学,则矢量用分量来表达(如前面的转动参照系运动学),才能求解。而分析力学中最重要的是能量,即动能和势能,其次确定系统的自由度,进而确定广义坐标,用广义坐标来表示能量等函数,是十分重要的一步,因而标量性很明显,当然有时也免不了要受力分析,毕竟是力学。

  一、约束与广义坐标

  分析力学的研究对象:主要是相互作用着的大量质点组成的质点系,我们常见的就是特殊的质点系刚体,我们称为力学体系。单个质点当然也可用分析力学处理,不过,有时反使问题复杂化,因它的优势在于处理复杂体系,一方面用广义坐标(独立坐标)来描述力学体系使方程数减少,一方面消除未知的约束反力(目标是求解力学体系的运动规律,而不是约束反力).

  1, 约束

  限制力学体系中质点自由运动的条件,通常为坐标,速度,时间的函数,该函数我们称为约束方程,简称约束

  按照下面不同的划分标准,分为:

  1) 限制质点空间位置的约束是否显含时间

  1) 限制质点空间位置的约束是否可解

  始终不能脱离约束曲面(曲线)的约束,是不可解约束,用等式表示

  3)是否限制质点的速度

  不仅限制质点的坐标,而且限制质点的速度,是微分约束;可积分为几何约束的微分约束也为完整约束,所以完成约束包括几何约束(不可解约束)和可积分为几何约束的微分约束;而非完成约束则包括可解约束和不能积分为几何约束的微分约束,受完整约束的力学体系是完成系,反之是非完整系,我们主要研究完整系。

  我们注意到,上面分类中有相互包含的情况,如同一个约束,即可是稳定约束,也可是不可解约束,还可是几何约束;可解约束只能是非完整约束。

  1, 广义坐标

  若一个有3n个质点组成的力学体系受到k个几何约束,则描述其空间位形的独立坐标数只需3n-k个,此时力学体系的自由度和独立坐标数相等,若有微分约束,则自由度数可小于独立坐标数,我们研究的是几何约束

  这3n-k=s个独立坐标,称其为是广义坐标,每一质点的三个直角坐标都可用这s个独立坐标来表示,于是整个力体系的空间位形当然就只需s个独立坐标来描述

  明确位矢是广义坐标和时间的显函数,若不是时间的显函数是稳定约束的情况。广义坐标,既然称广义,它可以是长度,还可是角度等,只需满足和广义力的乘积具有功的量纲或者说具有功的形式

  二, 虚功原理

  1. 几个基本概念

  1) 实位移与虚位移的区别和联系

  实位移是实实在在由真实运动而发生的位移,必然经历时间,且受运动规律(初始条件和受力情况,所以已包含了约束条件)的限制,只有一个,用表示;而虚位移则是在某一时刻,约束所许可的条件下,假象的可能发生的位移,可能由无数多个,且不经历时间,不受真实运动的影响,由约束条件和该时刻所在位置决定,用表示;当在稳定约束的情况下,实位移是诸多虚位移中的一个

  2)虚功

  所有主动力和约束反力在任意的虚位移所做的元功之和,与虚位移相应,物功能转化,也不需经历时间

  3)理想约束 若某一力学体系的所有约束反力在任意虚位移所做元功之和为零

  2,虚功原理

  研究对象是受理性的稳定的约束且处于静止状态的力学体系,研究任务,是解决该类体系的静力学平衡问题

  三 (重点考查)拉格朗日方程

  是在达郎贝尔原理(把动力学问题转为静力学问题的原理)和虚功原理的基础上推导的

  1基本形式的拉格朗日方程

  2 保守力系下(主动力是保守力)的拉格朗日方程

  3 拉格朗日方程的应用

  应用拉格朗日方程解题的一般步骤:

  (1)明确是否是受理想完整约束的力学体系

  (2)判断力学体系的自由度(确定广义坐标数)

  (3)选广义坐标(根据题意,需要灵活选取),数目与自由度相等

  (4)计算系统的动能,且用广义速度,广义坐标来表示

  (5)对非保守系计算广义力,对保守系计算势能(用广义坐标表示)

  (6)代入拉格朗日方程求得质点系的运动微分方程,进而求得运动

  4 循环积分和能量积分

  都是针对保守力系,

  四 哈密顿正则方程

  五、泊松括号与哈密顿原理

  1,泊松括号

  3 哈密顿原理

  仅研究保守力系作用下的哈密顿原理

  与拉格朗日方程一样,是在由s个广义坐标所描述的s维位形空间中研究力学体系的运动规律,s维位形空间与时间t构成了s+1维空间,它是采用变分的思想从多种可能轨道中挑出真是轨道。

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